비비아니 정리

비비아니 정리(Viviani's theorem)는 이탈리아의 수학자 빈첸초 비비아니가 증명한 정리로, 정다각형의 성질 중 하나이다.

소개

비비아니는 정삼각형에 대하여 다음을 증명했다:

• 정삼각형 내부의 한 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합은 일정하다.

이는 정다각형으로 일반화할 수 있음이 자명하다:

• 정다각형 내부의 한 점에서 각 변에 내린 수선의 길이의 합은 일정하다.

증명

정n각형 내부의 한 점에서 i번째 변에 내린 수선의 길이를 [math]\displaystyle{ h_i }[/math]라 하자. 한 변의 길이를 a라 하면 정다각형의 넓이는

[math]\displaystyle{ S(P)=\displaystyle\sum\frac{a}{2}h_i=\text{const.} }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ \sum h_i }[/math]는 일정하다.