로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!== 소수 표기시 형태 == 위에서 임의의 유리수를 [[기약분수]]로 나타냈을 때, 분모의 약수가 2나 5밖에 없다면 유한 소수가 된다고 말하였다. 근데 왜 하필 2와 5일까? 사실 이는 10의 소인수가 2랑 5밖에 없기 때문이다. 왜 하필 10의 소인수를 고려하는 이유는, 우리가 10진법을 쓰기 때문이다. 즉, 분모의 약수가 2나 5밖에 없는 것은 ''10진법''에서의 유한 소수가 되기 위한 조건이지, 임의의 [[기수법]]에서의 유한 소수가 되기 위한 조건이 아니다. 일반적인 [[기수법]]에서, 분수를 소수로 나타냈을 때 어떠한 형태가 되는지 일반화 하면 다음과 같다. ; 명제 #<math>x</math>를 <math>b</math>진법으로 전개했을 때, 항이 유한하거나 순환한다면 <math>x</math>는 [[유리수]]이다. #<math>x=\frac{r}{s}</math>가 [[기약분수]]인 [[유리수]]라 하자. 그럼 <math>x</math>의 <math>b</math>진법 전개는 반드시 유한하거나 순환한다. <math>b</math>진법 전개가 유한하기 위한 필요충분 조건은 <math>s</math>의 모든 소인수가 <math>b</math>를 나누는 것이다. ; 증명 #만약 <math>x=\left(0.c_1c_2\ldots c_n\right)_b</math>라면, <math>x=\frac{c_1}{b}+\frac{c_2}{b^2}+\cdots+\frac{c_n}{b^n}\in\mathbb{Q}</math>이다. 만약 <math>x=\left(0.c_1\ldots c_N\overline{c_{N+1}\ldots c_{N+k}}\right)_b</math>라면, <math>\begin{align}x&=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N}+\left(\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\right)\left(1+\frac{1}{b^k}+\frac{1}{b^{2k}}+\cdots\right)\\&=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_N}{b^N}+\left(\frac{c_{N+1}}{b^{N+1}}+\cdots+\frac{c_{N+k}}{b^{N+k}}\right)\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{b^{ik}}\end{align}</math><br />이다. 한편, <math>\sum_{i=0}^\infty\frac{1}{b^{ik}}=\frac{1}{1-\left(\frac{1}{b}\right)^k}\in\mathbb{Q}</math>이므로, <math>x\in\mathbb{Q}</math>이다. #<math>s=TU</math>로 쪼개자. 여기서 <math>T</math>는 <math>b</math>의 소인수들만 모아놓은 것이고, <math>U</math>는 그렇지 않은 소인수들만 모아놓은 것이다. 따라서, <math>\gcd\left(U,b\right)=1</math>이고, 적당한 [[자연수]] <math>N</math>에 대해 <math>T\mid b^N</math>이다. 즉, 적당한 [[자연수]] <math>k</math>에 대해 <math>b^N=kT</math>이고, 따라서 <math>xb^N=\frac{rb^N}{TU}=\frac{rk}{U}</math>이다. [[나눗셈 정리]]에 의해 <math>rk=QU+R</math>임을 알 수 있다 (단, <math>0\leq R< U</math>). 그럼, <math>xb^N=Q+\frac{R}{U}</math>이다. 이제, <math>Q</math>의 <math>b</math>진법 전개를 <math>a_mb^m+\cdots+a_1b+a_0</math>이라 하자. 그럼, <math>x=\frac{a_m}{b^{N-m}}+\frac{a_{m-1}}{b^{N-m+1}}+\cdots+\frac{a_1}{b^{N-1}}+\frac{a_0}{b^N}+\frac{R}{Ub^N}</math>이다. 만약 <math>U=1</math>이면, <math>R=0</math>이어야만 하고, 이는 <math>x</math>의 <math>b</math>진법 전개는 유한함을 의미한다. 한편, <math>U=1</math>이기 위한 조건은 <math>s</math>의 모든 소인수가 <math>b</math>를 나누는 것이다. :이제 <math>U\neq1</math>라 가정하자. 그리고 <math>v=\operatorname{ord}_Ub</math>라 하자. 즉, <math>b^v\equiv1\pmod U</math>이고, 적당한 [[정수]] <math>t</math>에 대해 <math>b^v=1+tU</math>이다. 따라서, <math>b^v\frac{R}{U}=tR+\frac{R}{U}</math>이다. <math>\frac{R}{U}</math>의 <math>b</math>진법 <math>v</math>항 분수 전개를 <math>\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{R_v}{b^v}</math>라 가정하자. 여기서 <math>0\leq R_v<1</math>이다. 따라서, <math>b^v\left(\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{R_v}{b^v}\right)=tR+\frac{R}{U}</math>이고, 좌변을 전개하여 간단히 정리하면, <math>c_1b^{v-1}+\cdots+c_v+R_v=tR+\frac{R}{U}</math>이다. 좌변에서 <math>\frac{R}{U}</math>를 제외한 모든 항은 음이아닌 [[정수]]이고, 우변에서 <math>tR</math>은 음이아닌 [[정수]], <math>0\leq\frac{R}{U}<1</math>이므로, <math>R_v=\frac{R}{U}</math>이어야만 한다. 따라서, <math>\frac{R}{U}=\frac{c_1}{b}+\cdots+\frac{c_v}{b^v}+\frac{1}{b^v}\left(\frac{R}{U}\right)</math>. 이는 곧 <math>\frac{R}{U}</math>이 순환함을 의미하고, 따라서 <math>x</math>도 순환한다. 순환 주기는 <math>v=\operatorname{ord}_Ub</math>이다. 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț