로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.중간의 다른 편집과 충돌하여 이 편집을 되돌릴 수 없습니다. 스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!학교에서 일반적으로 배우는 [[방정식]]은, [[미지수]]의 [[수]]와 방정식의 수가 같다. 미지수가 하나일 경우에는 그냥 일차, 이차 방정식 등 흔히 접하는 방정식이 되며, 미지수가 여러 개 이면 식도 여러 개 주어져 [[연립방정식]]이 된다.<ref>식이 전부 선형 독립일 때, 식의 수와 미지수의 수가 같으면 유일한 해를, 식의 수가 더 많으면 해가 없게 된다. 식이 선형 독립이 아닌 경우는 때마다 다름</ref> 하지만 만약 미지수의 수가 방정식의 수보다 많으면 어떻게 될까? 특별한 조건이 주어지지 않았다면, 해의 수는 무한히 많게 되어 답이 “부정”(不定)이 된다. 이 때, 답이 부정인 [[방정식]]들을 '''부정방정식'''이라 부른다. 하지만 조건이 주어졌다면 얘기는 조금 달라진다. 미지수의 범위가 주어졌다든가, 정수해만 찾는다든가 등등의 조건이 붙으면 해가 유한할 수도 있으며, 굳이 미지수의 수만큼의 식이 주어지지 않아도 방정식을 풀 수 있게 된다. 간단한 예로, <math>x+y=3</math>이라는 식은 해가 무한히 많다. 하지만 범위를 [[자연수]]로 한정하면, <math>\left(x,y\right)=\left(1,2\right),\left(2,1\right)</math>의 단 2개의 해만을 가지게 된다. 참고로 이 예시처럼 미지수가 [[정수]]([[자연수]])로 제한되어 있는 방정식들을 [[디오판토스 방정식]]이라 부른다. 디오판틴 방정식은 부정방정식의 대표적인 예이며, 더 자세한 것은 해당 문서를 참고. 이 문서에서는 부정방정식을 푸는 요령에 대해 서술한다. 참고로 문제의 특성상 학교에서 보게 될 부정방정식 문제는 전부 디오판토스 방정식 문제이다. == 해법 == === 인수분해 === 가장 간단하게 풀 수 있는 방법이자 보통 제일 먼저 시도하게 될 방법은 바로 [[인수분해]]이다. 이 경우에는 범위가 보통 [[정수]]로 제한되며, 식을 잘 정리하면 한쪽 변은 인수분해가 되어있고, 다른 쪽 변은 상수만 남아 그 변을 [[소인수분해]]하여 답을 추려내는 문제가 나온다. 아래 간단한 예제를 보자. {{인용문2|<math>x+y=xy,\,x,y\in\mathbb{Z}</math>}} {{숨기기|풀이| 일단 우변의 항을 좌변으로 넘긴 뒤, 양변에 1을 빼면 <math>x-xy+y-1=-1</math>이 된다. 좌변은 <math>-\left(x-1\right)\left(y-1\right)</math>으로 인수분해가 되고, 좌변의 각 항은 정수이다. 그런데 우변을 정수 범위에서 소인수분해하면 <math>1\times\left(-1\right)</math>으로 유일하게 분해된다. 따라서 <math>x-1=1,y-1=1</math>이거나 <math>x-1=-1,y-1=-1</math>의 두 가지 경우밖에 존재하지 않고, 답은 <math>x=y=0</math> 또는 <math>x=y=2</math>이다.}} === 합동식 === 부정방정식의 차수가 2차 일 때 주로 사용하게 되는 방법. 문제를 많이 풀다보면 알게 되겠지만 이런 경우에는 해가 대부분 없다. 증명하는 방법은 일단 특정한 법을 정한 뒤, 좌변과 우변을 각각 그 법에 대해 나누고, 좌변과 우변의 잉여류가 다르다는 사실을 사용한다. 기본적으로 알아야 할 사실은 다음과 같다. *<math>x^2\equiv0,1\pmod4</math> *<math>x^3\equiv-1,0,1\pmod9</math> *좌변과 우변의 기우성 *[[이차잉여]] 이제 간단한 예제를 풀어보자. {{인용문2|<math>x^2-6y^2=122,\,x,y\in\mathbb{Z}</math>}} {{숨기기|풀이| 법 3을 사용한다. 법 3에 대해, 완전제곱수는 0 또는 1의 잉여류를 갖는다. 따라서, 좌변은 법 3에 대해 0 또는 1의 잉여류를 갖는다. 그런데 우변은 법 3에 대해 나머지가 2이므로, 이는 모순이 된다. 따라서 주어진 조건을 만족하는 정수해는 없다.}} === 무한강하법 === 영어로는 Proof by infinite descent라고 부르는 그것. 정렬순서 공리와 합동식을 기반으로 한 증명 테크닉으로, 가장 작은 자연수가 존재한다는 사실을 이용한다. 만약 부정방정식의 양변이 모두 짝수라면, 2로 약분이 가능하다. 그런데 약분을 한 후에도 양변이 모두 짝수라면, 다시 2로 약분이 가능하다. 만약 이 과정이 무한히 반복됨을 보였다고 하자. 그런데 문제는, '''가장 작은 짝수'''가 존재한다는 사실이다. 짝수를 계속 약분하다 보면 언젠가는 가장 작은 짝수(2 또는 -2)에 도달할 것이고, 거기서 더 약분을 하면 더이상 짝수가 아니게 되지만, 식의 양변은 계속 짝수여야 하므로 모순이 발생하게 된다. 결국 조건을 만족하는 해는 0(혹은 없음)이 되는 것이다. 간단한 예시를 풀어보자. {{인용문2|<math>x^3+2y^3+4z^3+8xyz=0,\,x,y,z\in\mathbb{Z}</math>}} {{숨기기|풀이| 우선 <math>x=y=z=0</math>이 한 해임은 자명하다. 이제 <math>x_1,y_1,z_1</math>이 다른 한 해라고 가정하자. 그런데 <math>2y^3,4z^3,8xyz,0</math>이 모두 짝수이므로 <math>x^3</math>도 짝수여야 하고, 따라서 <math>x</math>도 짝수이다. 이제 <math>x_1=2x_2</math>라 두고 양변을 2로 약분하자. 그럼 <math>4{x_2}^3+{y_1}^3+2{z_1}^3+8x_2y_1z_1=0</math>이 된다. 마찬가지 이유로, <math>y_1=2y_2</math>로 둘 수 있다. 이를 대입하고 다시 약분하면, <math>2{x_2}^3+4{y_2}^3+{z_1}^3+8x_2y_2z_1=0</math>이 된다. 마찬가지 이유로 <math>z_1=2z_2</math>로 둘 수 있고, 다시 약분하면 <math>{x_2}^3+2{y_2}^3+4{z_2}^3+8x_2y_2z_2=0</math>이 된다. 그런데 이는 처음 식과 동일하므로, 무한강하법에 의해 위 식은 무한히 2로 나누어 떨어져야 한다. 그런데 0이 아닌 짝수를 계속 나누다 보면 언젠가는 홀수가 되어버리므로, 이는 불가능하다. 따라서 <math>x=y=z=0</math>이 유일한 해이다.}} 참고로 이 무한강하법은 <math>\sqrt n</math>가 무리수임을 보이는 데에도 쓰일 수 있다. 하지만 무한강하법은 보통 디오판토스 방정식을 푸는데 쓰인다. {{ㅊ|그런데 [[페르마의 마지막 정리]]는 못 푼다.}} === 부등식 === [[정수론]]적인 방법이 먹히지 않으면 [[대수학]]과 [[해석학]]적인 방법으로 풀면 된다. 방법도 간단해서, 그냥 조건에 맞게 부등식을 세우고 해를 찾으면 된다. 주로 변수 하나에 대한 부등식 조건을 찾은 뒤에 다른 변수로 넘어가는 방법을 쓴다. 실생활에서 가장 많이 쓰이는 풀이 방법. {{인용문2|<math>6x^2+5y^2=74,\,x,y\in\mathbb{Z}</math>}} {{숨기기|풀이| <math>5y^2=74-6x^2\geq0</math>이므로, <math>x^2\leq\frac{37}{3}</math>이다. <math>x</math>가 정수이므로 <math>-3\leq x\leq3</math>이고, 따라서 <math>x^2=0,1,4,9</math>이다. 이를 원래 식에 각각 대입하면 <math>x^2=9</math>일 때만 조건을 만족시킴을 알 수 있으며, 이 때의 값은 <math>y^2=4</math>이다. 따라서 <math>\left(x,y\right)=\left(\pm3,\pm2\right),\left(\pm3,\mp2\right)</math>이다.}} == 관련 항목 == *[[디오판토스 방정식]] *[[페르마의 마지막 정리]] *[[선형대수학]] *[[연립방정식]] {{각주}} [[분류:정수론]] [[분류:방정식]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · 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