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[[오일러]]가 발견했듯이, 이렇게 뭉칠 수 있다: <math>\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x</math>. 따라서 푸리에 변환을 깔끔하게 표현하고 활용하려면 복소수를 사용해야 한다. * “''100만보다 작은 [[소수]]의 개수는 몇 개일까?''”라는 질문에 대답을 하려면 복소수에 대해 알아야 한다.{{ㅊ|그냥 일일이 세도 된다}} 소수의 분포가 복소수에서 정의된 [[리만 제타 함수]]라는 것과 관련 있다는 것을 [[수학]]자 리만이 발견했으며, 추후 복소수와 그것의 확장된 수체계들을 적극 활용하여 소수에 대한 다양한 새로운 사실들이 밝혀지게 된다. * 실수 위의 특이적분을 복소수를 동원하면 쉽고 깔끔하게 할 수 있는 경우가 많다. 물론 적분을 잘 할 수 있으면 공학과 물리에 많이 도움이 되며, 결과적으로 잘 먹고 잘 사는 데 보탬이 된다. * ''n''차 다항식은 실수해가 없을 수도 있지만 복소수에서는 정확히 ''n''개의 해가 있다. 물론 다항식을 잘 풀 수 있으면 잘 먹고 잘 사는 데 보탬이 된다. 뭐 이외에도 그냥 밥 먹듯이 등장한다. ===정의=== <math>\displaystyle i</math>라는 추상개체를 <math>\displaystyle \sqrt{-1}</math>라고 정의하는데서부터 모든것이 시작된다. ''a''와 ''b''가 실수일 때 <math>\displaystyle a+bi</math>라는 숫자들을 복소수라고 한다. 복소수를 더하거나 곱할 때에는 <math>\displaystyle i</math>라는 깐죽쟁이는 따로 모아서 정리하는 식으로 한다. 즉, <math>\displaystyle (a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i</math> 으로 정의하고, <math>\displaystyle (a+bi)\times(c+di)=ac+bci+adi+bdi^2=(ac-bd)+(bc+ad)i</math> 으로 정의한다. 뺄셈 나눗셈도 마찬가지다. 그대신 나누기는 처음 보면 생소할 수도 있다. <math>\displaystyle (a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i</math> 으로 정의하며, <math>\displaystyle \frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}=\frac{ac+bd}{c^2+d^2}+\frac{bc-ad}{c^2+d^2}i</math> 으로 정의한다. ===복소평면=== 그런데 위에서 하듯이 정의를 하면 정작 복소수가 정말로 중요한 이유를 보기가 힘들다. 복소수가 정말로 중요한 이유중 하나는 <math>\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x </math>이기 때문이다. 이걸 시각화 하기 위해 복소평면이란 것을 생각하자. 복소평면이란, <math>\displaystyle a+bi</math>라는 복소수를 평면 위의 점 <math>\displaystyle (a,b)</math>로 보겠다는 것이다.<ref>실수 집합 둘의 카테시언 곱과 복소수 집합은 서로 동형이다.</ref> 굳이 왜 이렇게 할까? 이렇게 하면 곱셈과 나눗셈에 대한 새로운 멋진 직관을 얻을 수 있기 때문이다. 그 직관을 말하기 위해 <math>\displaystyle (r, \theta)_\text{polar}</math>를 복소수 <math>\displaystyle r\cos \theta + i r\sin \theta</math>와 같다고 하자.<ref>기호는 물결표 ~를 쓰기로 한다.</ref> 즉, <math>\displaystyle (r, \theta)_\text{polar}</math>은 양의 x축 방향과 <math>\displaystyle \theta</math>의 각('''동경''')<ref>여기서의 θ는 부호가 있는 실수이다. x축의 양의 방향 부분을 기준으로 반시계 방향으로 +, 시계 방향으로 -의 부호를 붙인다.</ref>를 이루며 길이가 <math>\displaystyle r</math>인 벡터가 가리키는 점으로 정의하는 것이다. 그렇다면 위에서 명백히 보이지 않던 놀라운 사실을 하나 알 수 있게 된다: <math>\displaystyle (r_1 ,\theta_1)_\text{polar}\cdot (r_2,\theta_2)_\text{polar} =( r_1r_2, \theta_1 + \theta_2)_\text{polar}</math> 즉, 복소수 두 개의 곱은 복소평면에서 아주 기하학적인 표현이 가능한 것이다: 두 점을 곱하면 원점에서의 거리가 곱해지고 양의 x축 방향과 이루는 각도가 '''더해진다는''' 것이다! 이게 왜 그럴까? 직접 정의를 풀어헤쳐보면 이게 삼각함수의 덧셈정리와 정확히 같은 것을 알 수 있다. 하지만 정작 더 예쁜 이유는 따로 있다. 그게 바로 <math>\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x </math>이다. ===오일러의 식: <math>\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x </math>=== 이게 오일러의 식이다. 위의 표기법대로 다시 쓰면 <math>\displaystyle (1, \theta)_\text{polar} \sim e^{i\theta}</math>라고 다시 쓸 수도 있으리라. 근데 이 식이 애초에 의미하는 바가 무엇일까? 대체 뭘 어떻게 하면 e의 복소수 승 할 수 있는 거지? 이것을 설명하기 위하여 아예 <math>\displaystyle e^x</math>라는 함수를 임의의 복소수 값에 대해서 새로 정의한 후, 좌변과 우변을 비교해 볼 수도 있다. 하지만 여기서는 좀 더 직관적인 설명에 대해 우선 알아보고, 그 후에 정의를 논해보자. ====직관적인 설명: 복소평면 위의 곡선==== 이 논의는 바로 "''음, 정말로 <math>\displaystyle f(x)=e^{ix}</math>라는 표현이 복소수라면, 어떤 식으로 행동하는 녀석일까?''"라고 궁금증을 던지는 데에서부터 시작된다. <math>\displaystyle f(x)</math>를 각 실수 x마다 복소평면 위에 점을 찍는 것이라고 생각한다면, 마치 우리는 x가 시간이라고 생각해봐도 무리가 없을 것이다. 즉 시간을 나타내기 위해 x를 t라고 한번 써보면, <math>\displaystyle f(t)</math>는 시간에 따라 (복소)평면 위를 꾸물꾸물 움직이는 점의 궤적일 것이다. 얘가 어떻게 움직이는지를 보기 위해 속도벡터를 한번 보자. 이 궤적의 속도벡터는 <math>\displaystyle \frac{d}{dt}f(t)</math>이다. 그런데 우리가 이미 실수 <math>\displaystyle c</math>에 대해 알고 있는 사실이 바로 <math>\displaystyle \frac{d}{dt}e^{ct}=c\cdot e^{ct}</math>이다. 따라서 정말로 자연스럽게 <math>\displaystyle f(t)=e^{it}</math>를 정의하려면 <math>\displaystyle \frac{d}{dt}e^{it}=i\cdot e^{it}</math>이어야 할 것이다. 즉, 속도벡터가 위치벡터의 <math>\displaystyle i</math>배라는 것이다. 근데 복소수의 가장 원초적인 정의로 돌아가서 이게 대체 뭘 의미하는지 곱씹어보자. <math>\displaystyle i(x+iy)=i^2 y + ix = -y + ix</math>로, 조금만 머리를 쓰보면 <math>\displaystyle i</math>를 곱함으로써 원래 벡터가 원점에 대해 90도 회전했다는 것을 알 수 있다. 따라서 우리의 <math>\displaystyle f(t)=e^{it}</math>의 <math>\displaystyle t=t_0</math>일 때의 속도벡터는 항상 원점으로 그은 선분에 수직함을 알 수 있다. 이제 사실상 게임 끝난것과 마찬가지다. 좀 더 지켜보라. 이제 한번 원점을 중심으로 한 동심원들을 빽빽하게 그려서 평면을 가득 채워보자 <s> foliation </s>. 이렇게 한 후 <math>\displaystyle f(t)</math>의 궤적을 스케치했다고 치고 아무렇게나 곡선을 그려보자. 그러면 바로 알 수 있는 사실이, <math>\displaystyle f(t)</math>가 빽빽히 그려놓은 동심원 중 하나를 따라가다가 벗어날 때 바로 속도벡터가 위치벡터와 수직이 아닌 것을 알 수 있다! 즉, 속도벡터와 위치벡터가 수직이게 하고 싶으면 <math>\displaystyle f(t)</math>를 감히 원 하나에서 벗어나게는 할 수 없다는 것이다. 즉, <math>\displaystyle f(t)</math>의 궤적은 하나의 원이 된다. 더불어 <math>\displaystyle f(0)=e^{i\cdot 0}=e^0=1</math>이므로 이 원은 바로 반지름 1짜리 원인 것이다. 속도가 일정해야 하므로 <math>\displaystyle e^{it}</math>가 양의 x축 방향과 이루는 각도는 <math>\displaystyle t</math>여야 하고, 따라서 원하던 대로 <math>\displaystyle e^{it}=\cos t + i\sin t</math>임을 알 수 있게 되었다. ===="증명"과 정의==== 미적분을 열심히 해보면 실수 <math>\displaystyle z</math>에 대해 <math>\displaystyle e^z,\sin z, \cos z</math>의 [[테일러 급수|테일러 전개]]가 다음과 같음을 알 수 있다: <math>\displaystyle e^z = 1+\frac {z^1}{1!}+\frac {z^2}{2!}+\frac {z^3}{3!}+\cdots</math> <math>\displaystyle \sin z = z-\frac {z^3}{3!}+\frac {z^5}{5!}-\frac {z^7}{7!}+\cdots</math> <math>\displaystyle \cos z = 1-\frac {z^2}{2!}+\frac {z^4}{4!}-\frac {z^6}{6!}+\cdots</math> 그리고 아예 <math>\displaystyle z</math>를 실수에서 복소수에 대해 확장해서 정의된 것으로 치고 정의를 완전히 똑같이 반복할 수 있다. 그러면 <math>\displaystyle e^{ix} = \cos x + i \sin x </math>는 값을 직접 집어넣어서 바로 확인할 수 있게 된다. ==개요: 복소수의 미적분== 복소수에서 미적분하면 짱짱맨이다. 실수에서 미적분 하는 것보다 훨씬 더 예뻐진다. 물론 미분과 적분은 따로 다 정의해야 하겠지만 그것들을 논의하기 전에, 그 정의를 만들면 어떤 놀라운 성질들을 만족하는지에 대해 말해보겠다. * 복소함수는 한번 미분 가능하면 무한번 미분가능하다. 한편 실수함수에서는 <math>\displaystyle f(x)=\displaystyle \int_0^x |t|dt</math>로 정의하면 얘는 딱 한번밖에 미분이 안 된다. * 복소함수의 테일러전개는 항상 어떤 반경 내에서는 그 함수로 수렴한다. 한편 실수함수에서는 <math>\displaystyle f(t)</math>를 <math>\displaystyle t>0</math>일 때 <math>\displaystyle e^{1/t}</math>, <math>\displaystyle t\leq 0</math>일 때 <math>\displaystyle 0</math>으로 정의하면 0에서의 이 함수의 테일러 급수는 그냥 모든 점에서 0인 함수가 된다. 그 어떤 반경을 잡아도 원래 함수와 동일하지 않는 것이다. * 미분이 되는 아무 함수나 잡고 미분이 되는 영역에서 경로적분을 해주면 무조건 적분값이 0이 된다. 즉 적분 경로를 열심히 바꿔봤자 값이 똑같다는 것. 한편 정의가 안 되는 무한점 등 주변으로 경로적분을 하면 무한점의 "개수"를 정확히 세어주는 작용을 한다. 이런 걸 활용해서 구하기 어려운 실수 적분값들을 구하는 것도 가능하다. ===복소 미분=== ====직관==== <math>\displaystyle \mathbb R^2 \rightarrow \mathbb R^2 </math>인 실수 함수가 "미분가능하다"고 하는 것은 국소적으로 [[선형변환]]으로 근사가 가능하다는 것이다. 복소적인 미분가능성은 한 걸음 더 나아가서 함수의 국소적 작용이 선형변환 중 특히 착한 놈인 회전&확대변환이라는 것을 뜻한다. 회전&확대변환은 정확히 복소수를 곱하는 작용을 뜻한다. ====코시-리만 방정식==== <math>\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)</math>가 <math>\displaystyle z_0 = x_0 + iy_0</math>에서 미분가능하면 <math>\displaystyle z_0</math>에서 <math>\displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y</math>가 존재하고 <math>\displaystyle u_x=v_y, u_y=-v_x</math>를 만족한다. <math>\displaystyle f'(z_0)=u_x (x_0, y_0) + iv_x (x_0, y_0) =v_y (x_0, y_0) - iu_y (x_0, y_0) </math>이고 <math>\displaystyle u_x, u_y, v_x, v_y</math>을 <math>\displaystyle f=u+iv</math>의 코시-리만 방정식이라 한다. <!-- 조화함수 / 조화켤레 : 공학에 쓰임. 라플라스방정식의 해. --> ===복소 적분=== ====코시 적분공식==== ====잉여 공식==== ====Argument Principle==== ==다른 신기한 것들== ===Weierstrass Factorization Theorem=== ===Gamma 함수=== ===제타 함수=== ====Analytic Continuation==== ====함수방정식==== ====소수정리와 리만가설==== {{각주}} {{수}} [[분류:수]] [[분류:복소해석학]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)