벡터

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용어 Vector

수학, 물리학에 쓰이는 용어로 크기와 방향을 동시에 나타내는 물리량을 말한다.

수학에서의 벡터

벡터의 정의

고등학교에서 벡터의 정의가 나오는 부분을 보면 위에서와 같이 '크기와 방향을 나타내는 양을 벡터라고한다' 라고 명시되어 있다.그리고 많은 학생또한 그렇게 알고 있다. 하지만 잘 생각해보자. 이게 정말 수학적정의 인가? 그러면 크기라는것은 무엇이고 방향이란건 어떻게 정의할것인가? 이러한 용어들이 먼저 잘 정의되어 있지 않으면 수학적으로 잘 정의된 용어라고 볼 수 없다. 따라서 '크기와 방향을 나타내는 양'은 수학적 정의가 아니라 수학적 정의 전 단계의 직관으로서만 받아드려야 한다.

이미지적으로 크기와 방향을 나타낼수 있는것은 길이를 가지는 화살표이다. 이를 수학적객체들로 대응 시키기위해서 좌표평면위의 순서쌍으로 나타나는 점 [math]\displaystyle{ A=(a,b) }[/math]에서 점[math]\displaystyle{ B=(c,d) }[/math]쪽을 가르키며 이 두 점 사이의 길이를 가지는 화살표와의 대응으로서 [math]\displaystyle{ A=(a,b) }[/math]와 [math]\displaystyle{ B=(c,d) }[/math]의 순서쌍(즉 순서쌍의 순서쌍)[math]\displaystyle{ (A,B)=((a,b),(c,d)) }[/math]를 생각할 수 있다. 하지만 이러한 단순대응은 '화살표라는것은 위치에 상관없다'라는 중요한 성질을 간과하게 된다. 즉 같은 화살표를 여러 [math]\displaystyle{ (A,B) }[/math]에 대응시킬수 있으며 이들은 수학적으로 다른 존재가 되는것이다.

따라서 이 문제를 해결하기위해 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]의 정의를 다음과 같이 생각할수 있다.

[math]\displaystyle{ A=(a,b), B=(c,d) }[/math]라고 할때 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]란 [math]\displaystyle{ g-e=c-a,h-f=d-b }[/math]를 만족하는 모든 [math]\displaystyle{ c,f,g,h }[/math]에 대한 두 점의 순서쌍 [math]\displaystyle{ ((c,f),(g,h)) }[/math]들의 집합이다.

즉 화살표를 해당하는 모든것들의 모임에 대응시켜 정의한다.

이렇게 정의한 두 벡터 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]와 [math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]에 대해 생각해 볼 때, [math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]는 어떠한 E에 대해 [math]\displaystyle{ \vec{BE} }[/math]로서도 표현할 수 있다.(이미지 적으로는 화살표를 이동한것이다). 그리고 이 두벡터의 덧셈을 [math]\displaystyle{ \vec{AB}+\vec{CD}=\vec{AB}+\vec{BE}=\vec{AE} }[/math] 라고 정의할 수 있다.

단 여기서 그냥 넘어가지 말아야 할 것은 이것이 잘 정의되는가하는 것이다. 우리가 이 덧셈을 정의할때 앞에 [math]\displaystyle{ \vec{AB} }[/math]에 대응해서[math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]의 원소중 하나[math]\displaystyle{ (B,E) }[/math]를 임의로 선택해서 그것을[math]\displaystyle{ \vec{CD} }[/math]의 이름으로 삼아([math]\displaystyle{ \vec{CD}=\vec{BE} }[/math]) 덧셈을 정의했다. 이럴때는 그러한 선택에 관계없이 같은 값(벡터)가 나오는가가 수학적으로 중요하다. 연습문제로 남긴다.

위를 좀더 확장시켜 벡터공간의 원소로서 벡터를 정의할 수 있다.