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[[체|수체]] K와 집합 V에 대해서 다음이 성립할 때, V를 수체 K위에서 정의된 벡터공간이라고 한다. | |||
[[체]] 위의 [[가군]]이다. <ref>Hungerford의 대수책 같은데에서는 Division Ring 위의 가군을 벡터공간이라고 하기도 한다. 즉, 스칼라 a,b에 대해 ab=ba일 필요는 없다고 생각하는 것이다</ref> 직관적으로 말해, 덧셈뺄셈이 가능한 어떤 집합이 주어져있고, 여기에 "스칼라"의 집합을 모아서 그 집합의 원소들을 상수배 곱하는 것 역시 허용한다는 것이다. | |||
혹은 정의를 완전히 풀어서 쓰면 다음과 같다. [[체|수체]] K와 집합 V에 대해서 다음이 성립할 때, V를 수체 K위에서 정의된 벡터공간이라고 한다. | |||
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이 때 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다. | |||
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저 조건만 만족하면 벡터공간이므로 실제로 벡터공간이 될 수 있는 집합들은 매우 다양하다. 아래는 그 예시들이다. | 저 조건만 만족하면 벡터공간이므로 실제로 벡터공간이 될 수 있는 집합들은 매우 다양하다. 아래는 그 예시들이다. | ||
2015년 4월 29일 (수) 16:13 판
소개
(3차원 벡터공간에 대한 설명을 기반으로 한 직관의 설명 추가바람)
정의[1]
체 위의 가군이다. [2] 직관적으로 말해, 덧셈뺄셈이 가능한 어떤 집합이 주어져있고, 여기에 "스칼라"의 집합을 모아서 그 집합의 원소들을 상수배 곱하는 것 역시 허용한다는 것이다.
혹은 정의를 완전히 풀어서 쓰면 다음과 같다. 수체 K와 집합 V에 대해서 다음이 성립할 때, V를 수체 K위에서 정의된 벡터공간이라고 한다.
1. 모든 u, v∈V에 대해 u+v는 V에 속한다.
2. 모든 v∈V와 k∈K에 대해 kv는 V에 속한다.
3. 모든 u, v, w∈V에 대해 (u+v)+w=u+(v+w)다.
4. 모든 v∈V에 대해 v+0=v인 0이 V에 존재한다.
5. 모든 v∈V에 대해 v+(-v)=0인 -v가 V에 존재한다.
6. 모든 u, v∈V에 대해 u+v=v+u다.
7. 모든 k∈K와 u, v∈V에 대해 k(u+v)=ku+kv다.
8. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (k+l)v=kv+lv다.
9. 모든 k, l∈K와 v∈V에 대해 (kl)v=k(lv)다.
10. 모든 v∈V에 대해 1v=v인 1이 K에 존재한다.
이 때 벡터공간의 원소를 벡터라고 한다.
예시
저 조건만 만족하면 벡터공간이므로 실제로 벡터공간이 될 수 있는 집합들은 매우 다양하다. 아래는 그 예시들이다.
실수 위에서 정의된 평면 또는 공간.
K위에서 정의된 Kn.
유리수 위에서 정의된 실수.
실수 위에서 정의된 실수에서 실수로 가는 함수의 집합.
추가바람.