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여기서 사원수의 특정한 공식 <math>\mathbb{i}^2=\mathbb{j}^2 = \mathbb{k}^2 =-1, \mathbb{i}\mathbb{j}=-\mathbb{j}\mathbb{i}=\mathbb{k}, \mathbb{j}\mathbb{k}=-\mathbb{k}\mathbb{j}=\mathbb{i}, \mathbb{k}\mathbb{i}=-\mathbb{i}\mathbb{k}=\mathbb{j}</math>를 이용할 경우 | 여기서 사원수의 특정한 공식 <math>\mathbb{i}^2=\mathbb{j}^2 = \mathbb{k}^2 =-1, \mathbb{i}\mathbb{j}=-\mathbb{j}\mathbb{i}=\mathbb{k}, \mathbb{j}\mathbb{k}=-\mathbb{k}\mathbb{j}=\mathbb{i}, \mathbb{k}\mathbb{i}=-\mathbb{i}\mathbb{k}=\mathbb{j}</math>를 이용할 경우 | ||
<math>ab =(a_0+a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j} + a_3 \mathbb{k})(b_0+b_1 \mathbb{i}+b_2 \mathbb{j}+b_3\mathbb{k}) =a_0 b_0-(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)+(a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3-a_3b_2)\mathbb{i}</math><br | <math>ab =(a_0+a_1 \mathbb{i} + a_2 \mathbb{j} + a_3 \mathbb{k})(b_0+b_1 \mathbb{i}+b_2 \mathbb{j}+b_3\mathbb{k}) =a_0 b_0-(a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3)+(a_0 b_1 + a_1 b_0 + a_2 b_3-a_3b_2)\mathbb{i}</math><br><math> +(a_0 b_2 +a_2 b_0+a_3 b_1 -a_1 b_3 )\mathbb{j}+ (a_0 b_3 + a_3 b_0 +a_1 b_2 -a_2 b_1)\mathbb{k} )</math>. 여기서 <math>a=a_0 + \mathbb{a} , b = b_0 + \mathbb{b}</math>로 허수부를 <math>\mathbb{i}, \mathbb{j}, \mathbb{k}</math>를 기저로 가지는 3차원 벡터 공간으로 간주해서 계산할 경우 <math>ab=(a_0 b_0-\mathbb{a}\cdot \mathbb{b})+ (a_0 \mathbb{b}+b_0 \mathbb{a}+a \times b)</math>로 표현된다. | ||
마찬가지로 7차원의 벡터곱은 [[팔원수]]를 이용해서 유도할 수 있다. 일단 [[팔원수]]는 사원수에서 허수부를 4개 더 확장한 것으로 [[실수]]에서 복소수를 허수부 i를 이용해서 확장하는 연산 방식인 [[위키백과:케일리-딕슨 구성|케일리 딕슨 구성(Caylay-Dickson Construction)]]을 이용해서 얻을 수 있다. 구체적으로 얻는 방식은 아래를 참조하자. | 마찬가지로 7차원의 벡터곱은 [[팔원수]]를 이용해서 유도할 수 있다. 일단 [[팔원수]]는 사원수에서 허수부를 4개 더 확장한 것으로 [[실수]]에서 복소수를 허수부 i를 이용해서 확장하는 연산 방식인 [[위키백과:케일리-딕슨 구성|케일리 딕슨 구성(Caylay-Dickson Construction)]]을 이용해서 얻을 수 있다. 구체적으로 얻는 방식은 아래를 참조하자. | ||
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{| class=wikitable style="text-align: center" | {| class=wikitable style="text-align: center" | ||
|+ 팔원수 곱셈표 <br | |+ 팔원수 곱셈표 <br>''ab'' = | ||
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! '' a''╲''b'' || e<sub>1</sub> || e<sub>2</sub> || e<sub>3</sub> || e<sub>4</sub> || e<sub>5</sub> || e<sub>6</sub> || e<sub>7</sub> | ! '' a''╲''b'' || e<sub>1</sub> || e<sub>2</sub> || e<sub>3</sub> || e<sub>4</sub> || e<sub>5</sub> || e<sub>6</sub> || e<sub>7</sub> |