리군

소개

Lie Group. 거짓말 집단이 아니라 수학자 소푸스 리 (Sophus Lie)의 이름을 본따 만든 개념이다. 리군은 다양체이자 군이며, 두 가지 구조가 서로 잘 호환되는 개체를 말한다.

정의

G를 리군이라 할 때는 다음 성질들을 만족한다는 것을 뜻한다.

1. G는 다양체이다.

2. G는 군이다.

3. [math]\displaystyle{ (a,b) \mapsto a\cdot b }[/math]와 [math]\displaystyle{ a \mapsto a^{-1} }[/math]가 각각 매끄러운 함수이다. 여기서 "매끄러움"은 다양체 간의 함수로써의 매끄러움을 지칭하는 것이며, 두 함수는 각각 [math]\displaystyle{ G \times G \rightarrow G }[/math]와 [math]\displaystyle{ G \rightarrow G }[/math]인 함수를 말하는 것이다. [math]\displaystyle{ G\times G }[/math]에는 곱 다양체(product manifold) 구조를 준 것이다.

어따쓰나요?

물리에 많이 쓰이는데.

공학에서도 은근히 쓰이곤 한다. GL(n), SL(n), SO(n), U(n)이 각각 리군이며 이놈들은 선형변환을 모델링으로 하기 때문에 그래픽에서 회전에 대한 연구를 할 때 자주 등장하곤 한다.