(나는 공대생이 아니므로 공대생이 좋아하는지는 잘 모르겠다) |
(검토 좀 해주세요) |
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== 라플라스 변환의 활용 == | |||
=== 미분방정식의 풀이 === | |||
라플라스는 미분방정식을 푸는 데 유용하다. 미분방정식 | |||
: <math>\frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0</math><ref>조화 단진자의 감쇠진동을 나타나는 운동방정식이다. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion. 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. ISBN 9788962183009</ref> | |||
가 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은 | |||
: <math> (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0</math> | |||
이고, 식을 ''F(s)''에 대해 나타내면 | |||
: <math>F(s)=\dfrac{(s+2\beta)f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> | |||
이다. <math>F_1(s),F_2(s)</math>를 다음과 같이 정의하자. | |||
: <math>F_1(s)=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> | |||
: <math>F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}</math> | |||
<math>w_0^2>\beta^2</math>라고 가정하자. 그러면 | |||
: <math>F_1(s)=f(0)\frac{s+\beta}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=f(0)\mathcal{L}(e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t))</math> | |||
: <math>F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\frac{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\mathcal{L}(e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t))</math> | |||
따라서 | |||
: <math>x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)</math> | |||
을 얻는다.{{ㅊ|어때요, 정말 쉽죠?}} | |||
=== 이상적분의 계산 === | |||
라플라스 변환을 이용하면 부정적분이 초등함수로 나타나지 않는 함수의 이상적분을 계산할 수 있다. 이상적분 | |||
: <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> | |||
를 계산해보자. <math>f(x)=\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}</math>라 하면 <math>xf(x)=e^{-x}-e^{-2x}</math>이므로 ''f''의 라플라스 변환을 F(s)라 하면 | |||
: <math> - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2}</math> | |||
이다. 정리하면 | |||
: <math> F(s)=\ln(s+2)-\ln(s+1)</math> | |||
을 얻는다. 따라서 | |||
: <math>\ln(s+2)-\ln(s+1)=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx</math> | |||
이며, <math>s=0</math>을 대입하면 | |||
: <math>\int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2</math> | |||
를 얻는다. | |||
{{각주}} | |||
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2015년 5월 4일 (월) 20:27 판
정의
[math]\displaystyle{ 0\le t\lt \infty }[/math]에서 정의된 함수 f에 대해,
- [math]\displaystyle{ F(s)=\mathcal{L}(f(t))=\int_0^{\infty}f(t)e^{-st}dt\quad(s\in \mathbb{C}) }[/math]
를 f(t)의 라플라스 변환(Laplace transform)이라 한다. 이때 [math]\displaystyle{ s=\sigma+i\omega }[/math]로 두면, ([math]\displaystyle{ \sigma,\omega\in\mathbb{R} }[/math])
- [math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}|f(t)e^{-\sigma t}|dt \lt \infty }[/math]
일 때 라플라스 변환이 수렴한다.
성질
- 선형성
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(c_1 f_1(t)+c_2f_2(t))=c_1\mathcal{L}(f_1(t))+c_2\mathcal{L}(f_2(t)) }[/math]
- 도함수에 대한 라플라스 변환
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f'(t))=s\mathcal{L}(f(t))-f(0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f''(t))=s^2\mathcal{L}(f(t))-sf(0)-f'(0) }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f^{(n)}(t))=s^n\mathcal{L}(f(t))-s^{n-1}f(0)-\cdots-f^{(n-1)}(0) }[/math]
라플라스 변환표
| [math]\displaystyle{ f(t) }[/math] | [math]\displaystyle{ \mathcal{L}(f) }[/math] | 수렴범위 |
|---|---|---|
| 1 | [math]\displaystyle{ \frac{1}{s} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ t^p }[/math] (단, p>-1) | [math]\displaystyle{ \frac{\Gamma(p+1)}{s^{p+1}} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ t^{n-\frac{1}{2}} }[/math] (단, n은 양의 정수) | [math]\displaystyle{ \frac{1\cdot 3 \cdot \cdots \cdot (2n-1)\sqrt{\pi}}{2^n s^{n+\frac{1}{2}}} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ \sin(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2+a^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cos(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2+a^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt 0 }[/math] |
| [math]\displaystyle{ t\sin(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{2as}{(s^2+a^2)^2} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ t\cos(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{s^2-a^2}{(s^2+a^2)^2} }[/math] | |
| [math]\displaystyle{ \sinh(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{a}{s^2-a^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math] |
| [math]\displaystyle{ \cosh(at) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{s}{s^2-a^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt |a| }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^{at} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{1}{s-a} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^{at}\sin(bt) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{b}{(s-a)^2+b^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math] |
| [math]\displaystyle{ e^{at}\cos(bt) }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{s-a}{(s-a)^2+b^2} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math] |
| [math]\displaystyle{ t^n e^{at} }[/math] | [math]\displaystyle{ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}} }[/math] | [math]\displaystyle{ \operatorname{Re} s\gt a }[/math] |
라플라스 변환의 활용
미분방정식의 풀이
라플라스는 미분방정식을 푸는 데 유용하다. 미분방정식
- [math]\displaystyle{ \frac{d^2x}{dt^2}+2\beta \frac{dx}{dt}+w_0^2 x = 0 }[/math][1]
가 주어졌다고 하자. 이때 양변의 라플라스 변환은
- [math]\displaystyle{ (s^2F(s)-sf(0)-f'(0))+2\beta(sF(s)-f(0))+w_0^2F(s)=0 }[/math]
이고, 식을 F(s)에 대해 나타내면
- [math]\displaystyle{ F(s)=\dfrac{(s+2\beta)f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2}+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ F_1(s),F_2(s) }[/math]를 다음과 같이 정의하자.
- [math]\displaystyle{ F_1(s)=\frac{(s+\beta)f(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]
- [math]\displaystyle{ F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{s^2+2\beta s +w_0^2} }[/math]
[math]\displaystyle{ w_0^2\gt \beta^2 }[/math]라고 가정하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ F_1(s)=f(0)\frac{s+\beta}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=f(0)\mathcal{L}(e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)) }[/math]
- [math]\displaystyle{ F_2(s)=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\frac{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}{(s+\beta)^2+(\sqrt{w_0^2-\beta^2})^2}=\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\mathcal{L}(e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)) }[/math]
따라서
- [math]\displaystyle{ x(t)=f(0)e^{-\beta t}\cos(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t)+\frac{\beta f(0)+f'(0)}{\sqrt{w_0^2-\beta^2}}\cdot e^{-\beta t}\sin(\sqrt{w_0^2-\beta^2}t) }[/math]
을 얻는다.어때요, 정말 쉽죠?
이상적분의 계산
라플라스 변환을 이용하면 부정적분이 초등함수로 나타나지 않는 함수의 이상적분을 계산할 수 있다. 이상적분
- [math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx }[/math]
를 계산해보자. [math]\displaystyle{ f(x)=\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x} }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ xf(x)=e^{-x}-e^{-2x} }[/math]이므로 f의 라플라스 변환을 F(s)라 하면
- [math]\displaystyle{ - \frac{dF(s)}{ds}=\frac{1}{s+1}-\frac{1}{s+2} }[/math]
이다. 정리하면
- [math]\displaystyle{ F(s)=\ln(s+2)-\ln(s+1) }[/math]
을 얻는다. 따라서
- [math]\displaystyle{ \ln(s+2)-\ln(s+1)=F(s)=\int_0^{\infty}e^{-sx}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx }[/math]
이며, [math]\displaystyle{ s=0 }[/math]을 대입하면
- [math]\displaystyle{ \int_0^{\infty}\frac{e^{-x}-e^{-2x}}{x}dx=\ln 2 }[/math]
를 얻는다.
각주
- ↑ 조화 단진자의 감쇠진동을 나타나는 운동방정식이다. Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion. 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. ISBN 9788962183009