편집토론기록

라플라스 방정식

찾아 바꾸기 봇 (토론 | 기여)님의 2018년 9월 18일 (화) 01:28 판 (봇) (위키방:196439)

다변수함수 [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x_1,x_2,\cdots,x_n) }[/math]에 대한 편미분방정식

[math]\displaystyle{ \triangledown^2 \psi=0 }[/math]

를 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.

공식

3차원 좌표계[1]

  • 직각좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x,y,z) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=0 }[/math]
  • 원통좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\phi,z) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0 }[/math]
  • 구면좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\theta,\phi) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0 }[/math]

2차원 좌표계

  • 직각좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x,y) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 }[/math]
  • 극좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\theta) }[/math]
[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \theta^2}=0 }[/math]

해의 존재성과 유일성

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방정식의 일반해

2차원 직각좌표계

라플라스 방정식

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 }[/math]

을 변수분리법으로 풀자. 함수 [math]\displaystyle{ X(x), Y(y) }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \psi(x,y)=X(x)Y(y) }[/math]

라고 가정하자. 그러면 라플라스 방정식은

[math]\displaystyle{ X''Y+Y''X=0 }[/math]

로 주어진다. 양변을 [math]\displaystyle{ XY }[/math]로 나누면

[math]\displaystyle{ \frac{X''}{X}+\frac{Y''}{Y}=0 }[/math]

를 얻는다. 그러면

[math]\displaystyle{ \frac{X''}{X}=-\frac{Y''}{Y}=k }[/math]

인 [math]\displaystyle{ k\in\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. 따라서 다음 이계미분방정식을 얻는다.

[math]\displaystyle{ X''=kX,\quad Y''=-kY }[/math]
  • [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]이면, [math]\displaystyle{ k=\lambda^2 }[/math]인 [math]\displaystyle{ \lambda\in\mathbb{R} }[/math]가 존재한다. 따라서 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다. (단, [math]\displaystyle{ A,B,C,D }[/math]는 상수)
    [math]\displaystyle{ X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y }[/math]
  • [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ X''=0,Y''=0 }[/math]이므로 각 미분방정식의 해는 다음과 같이 주어진다.
    [math]\displaystyle{ X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy }[/math]
  • [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]일 때와 비슷한 방법으로 미분방정식의 해를 구할 수 있다.

경계값 문제

[math]\displaystyle{ 0\lt x\lt a,0\lt x\lt b }[/math]에서 경계값 문제

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 }[/math]
[math]\displaystyle{ u(x,0)=0,u(x,b)=0,u(0,y)=0,u(a,y)=f(y) }[/math]

를 만족하는 영이 아닌 함수 [math]\displaystyle{ u(x,y)=X(x)Y(y) }[/math]를 구하자.

[math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]일 경우,

[math]\displaystyle{ X(x)=A\cos\lambda x+B\sin\lambda x,\quad Y(y)=C\cosh\lambda y+D\sinh\lambda y }[/math]

이다.

[math]\displaystyle{ u(x,0)=C(A\cos\lambda x+B\sin\lambda x)=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ A=B=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ X(x)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ C=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(0,y)=AD\sinh\lambda y=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ D=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Y(y)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(x,b)=BD\sin\lambda x\sinh \lambda b=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ B=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ D=0 }[/math]이다. 어느 경우든 [math]\displaystyle{ X(x)=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ Y(y)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ k\lt 0 }[/math]일 수 없다.

[math]\displaystyle{ k=0 }[/math]일 경우,

[math]\displaystyle{ X(x)=A+Bx,\quad Y(y)=C+Dy }[/math]

이다.

[math]\displaystyle{ u(x,0)=C(A+Bx)=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ A=B=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ X(x)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ C=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(0,y)=ADy=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ D=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Y(x)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(x,b)=BDxb=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ B=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ D=0 }[/math]이다. 어느 경우라도 [math]\displaystyle{ X(x)=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ Y(y)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ k=0 }[/math]일 수 없다.

[math]\displaystyle{ k\gt 0 }[/math]일 경우,

[math]\displaystyle{ X(x)=A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x,\quad Y(y)=C\cos\lambda y+D\sin\lambda y }[/math]

이다.

[math]\displaystyle{ u(x,0)=C(A\cosh\lambda x+B\sinh\lambda x)=0 }[/math]

인데 [math]\displaystyle{ A=B=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ X(x)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ C=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(0,y)=AD\sin\lambda y=0 }[/math]

인데, [math]\displaystyle{ D=0 }[/math]이면 [math]\displaystyle{ Y(y)=0 }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ A=0 }[/math]이다.

[math]\displaystyle{ u(x,b)=BD\sinh\lambda x\sin\lambda b=0 }[/math]

이므로 [math]\displaystyle{ B=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ D=0 }[/math] 또는 [math]\displaystyle{ \sin\lambda b=0 }[/math]이다. 따라서 자연수 n에 대해 [math]\displaystyle{ \lambda =\frac{n\pi}{b} }[/math]이다. 따라서

[math]\displaystyle{ u_n(x,y)=\sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b} }[/math]

는 경계값 문제의 해이다. 이제 [math]\displaystyle{ u(x,y) }[/math]를 상수 [math]\displaystyle{ c_1,c_2,\dots }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ u(x,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi x}{b}\sin\frac{n\pi y}{b} }[/math]

로 나타낼 수 있다. 그러면

[math]\displaystyle{ u(a,y)=\sum_{n=1}^{\infty}c_n \sinh\frac{n\pi a}{b}\sin\frac{n\pi y}{b}=f(y) }[/math]

인데,

[math]\displaystyle{ f(y)\sin\frac{n\pi y}{b}=\sin\frac{n\pi y}{b}\sum_{k=1}^{\infty}c_k \sinh\frac{k\pi a}{b}\sin\frac{k\pi y}{b} }[/math]

이고 양변을 0에서 b까지 정적분하면

[math]\displaystyle{ c_n=\frac{2}{b\sinh\frac{n\pi a}{b}}\int_0^b f(y)\sin \frac{n\pi y}{b}dy }[/math]

를 얻는다.[2]

등장 시점

열확산방정식

열 T에 대해, 시간에 따른 열방정식은

[math]\displaystyle{ \frac{\partial T}{\partial t}=D\triangledown^2 T }[/math]

으로 주어진다. 만약 정상 상태에 있을 경우, [math]\displaystyle{ \frac{\partial T}{\partial t}=0 }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ \triangledown^2 T=0 }[/math]

이 되어 라플라스 방정식을 얻는다.[3]

같이 보기

각주

  1. ↑ Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion (2011). 강석태 옮김. 『일반역학』(제5판). Cengage Learning. pp. 678-681. ISBN 9788962183009
  2. ↑ Braun, M. (1975). Differential equations and their applications: An introduction to applied mathematics. New York: Springer-Verlag. ISBN 0387978941
  3. ↑ Stephen J. Blundell · Katherine M. Blundell (2010). Concepts in Thermal Physics (2nd ed.) Oxford University Press. ISBN 9780199562107