라플라스 방정식

정의

다변수함수 [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x_1,x_2,\cdots,x_n) }[/math]에 대한 편미분방정식

[math]\displaystyle{ \triangledown^2 \psi=0 }[/math]

를 라플라스 방정식(Laplace equation)이라 하고, 라플라스 방정식을 만족하는 함수를 조화함수(Harmonic function)라고 한다.

공식

3차원 좌표계

• 직각좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x,y,z) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}=0 }[/math]

• 원통좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\phi,z) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\left(r\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \phi^2}+\frac{\partial^2\psi}{\partial z^2}=0 }[/math]

• 구면좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\theta,\phi) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial \psi}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta}\left(\frac{\partial \psi}{\partial \theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 \psi}{\partial \phi^2}=0 }[/math]

2차원 좌표계

• 직각좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(x,y) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}=0 }[/math]

• 극좌표계: [math]\displaystyle{ \psi=\psi(r,\theta) }[/math]

[math]\displaystyle{ \frac{\partial^2\psi}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial \psi}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2\psi}{\partial \theta^2}=0 }[/math]