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'''라틴방진'''(Latin Square)은 [[마방진]]의 일종으로 N차 정사각 행렬 중 가로/세로로 N개의 숫자나 객채를 하나씩 배열한 방진을 말한다. 라틴방진이라는 이름은 [[레오나르트 오일러]](1707~1783)의 논문에서 라틴 문자를 사용한 정사각 방진에서 유래한다.
'''라틴방진'''(Latin Square)은 [[마방진]]의 일종으로 N차 정사각 행렬 중 가로/세로로 N개의 숫자나 객채를 하나씩 배열한 방진을 말한다. 라틴방진이라는 이름은 [[레온하르트 오일러]](1707~1783)의 논문에서 라틴 문자를 사용한 정사각 방진에서 유래한다.


== 역사 ==
== 역사 ==
라틴방진은 최석정의 구수략에 9×9 직교 라틴방진 형태로 나와있는데, 이는 오일러의 논문보다 무려 67년이나 더 전에 기록된 것이다. <ref>{{책 인용|성=Colbourn|이름=Chalres J.|공저자=Dinitz, Jeffrey H.|제목=Handbook of Combinatorial Designs|판=2판 |출판사=CRC Press|isbn=9781420010541|패아자=12|URL=https://books.google.com/books?id=Q9jLBQAAQBAJ&pg=PA12#v=onepage&q&f=false|언어=en}}</ref>  
라틴방진은 [[최석정]]의 [[구수략]]에 9×9 직교 라틴방진 형태로 나와있는데, 이는 오일러의 논문보다 무려 67년이나 더 전에 기록된 것이다. <ref>{{책 인용|성=Colbourn|이름=Chalres J.|공저자=Dinitz, Jeffrey H.|제목=Handbook of Combinatorial Designs|판=2판 |출판사=CRC Press|isbn=9781420010541|패아자=12|URL=https://books.google.com/books?id=Q9jLBQAAQBAJ&pg=PA12#v=onepage&q&f=false|언어=en}}</ref>  


이후 레온하르트 오일러는 1782년에 6개의 군부대에서 각각 서로 계급이 다른 6명의 장교를 6×6 정사각배열로 배치했을 때 같은 행/열에 계급이랑 부대가 모두 다르게 배치하는 [[wikipedia:Thirty-six officers problem|36장교 문제]]를 제시하면서 답이 존재하지 않을 것이라고 추측했고, 결국 1901년 개스톤 테리가 6×6 직교 라틴방진이 존재하지 않음을 보이면서 해결되었다. 그러나 오일러가 n=4N+2에서 직교 라틴방진이 존재하지 않을 것이라고 추측한 것과는 달리 n=10, 14 등 더 큰 수에 대해서는 직교 라틴방진이 존재함이 밝혀졌다.
이후 레온하르트 오일러는 1782년에 6개의 군부대에서 각각 서로 계급이 다른 6명의 장교를 6×6 정사각배열로 배치했을 때 같은 행/열에 계급이랑 부대가 모두 다르게 배치하는 [[wikipedia:Thirty-six officers problem|36장교 문제]]를 제시하면서 답이 존재하지 않을 것이라고 추측했고, 결국 1901년 [[개스톤 테리]]가 6×6 직교 라틴방진이 존재하지 않음을 보이면서 해결되었다. 그러나 오일러가 n=4N+2에서 직교 라틴방진이 존재하지 않을 것이라고 추측한 것과는 달리 n=10, 14 등 더 큰 수에 대해서는 직교 라틴방진이 존재함이 밝혀졌다.


== 라틴방진의 직교 ==
== 라틴방진의 직교 ==

2022년 8월 24일 (수) 11:49 기준 최신판

라틴방진(Latin Square)은 마방진의 일종으로 N차 정사각 행렬 중 가로/세로로 N개의 숫자나 객채를 하나씩 배열한 방진을 말한다. 라틴방진이라는 이름은 레온하르트 오일러(1707~1783)의 논문에서 라틴 문자를 사용한 정사각 방진에서 유래한다.

역사[편집 | 원본 편집]

라틴방진은 최석정의 구수략에 9×9 직교 라틴방진 형태로 나와있는데, 이는 오일러의 논문보다 무려 67년이나 더 전에 기록된 것이다. [1]

이후 레온하르트 오일러는 1782년에 6개의 군부대에서 각각 서로 계급이 다른 6명의 장교를 6×6 정사각배열로 배치했을 때 같은 행/열에 계급이랑 부대가 모두 다르게 배치하는 36장교 문제를 제시하면서 답이 존재하지 않을 것이라고 추측했고, 결국 1901년 개스톤 테리가 6×6 직교 라틴방진이 존재하지 않음을 보이면서 해결되었다. 그러나 오일러가 n=4N+2에서 직교 라틴방진이 존재하지 않을 것이라고 추측한 것과는 달리 n=10, 14 등 더 큰 수에 대해서는 직교 라틴방진이 존재함이 밝혀졌다.

라틴방진의 직교[편집 | 원본 편집]

두 라틴방진의 행렬 A=(aij), B=(bij)에 대해서 aij=k인 i,j를 모을 때 {bij}가 1부터 n까지 하나씩 들어가 있게 되는 경우 두 라틴방진 A와 B는 직교(orthogonal)한다고 말한다.

직교 라틴방진과 마방진[편집 | 원본 편집]

서로 직교하는 n차 라틴방진 A, B에 대해서 좌표행렬 ((aij,bij)는 (1,1)부터 (n,n)까지의 격자점 n2개가 하나씩 모인 형태가 되고, 다라서 행렬 ((n-1)aij+bij)은 1부터 n2까지의 원소로 구성된 준마방진이 된다. 아래는 3×3 직교 라틴방진 둘로 마방진을 만드는 과정을 표현한 것이다.

1 3 2 × 2 3 1 → 2 9 4
3 2 1 1 2 3 7 5 3
2 1 3 3 1 2 6 1 8

최석정의 구수략에서[편집 | 원본 편집]

최석정의 구수략에 나타난 직교 라틴방진. 위쪽의 수로 이루어진 방진과 아래쪽의 수로 이루어진 라틴 방진이 서로 직교한다. [2]

최석정 구수략에 나타난 직교 라틴방진
5
1		 6
3		 4
2		 8
7		 9
9		 7
8		 2
4		 3
6		 1
5
4
3		 5
2		 6
1		 7
9		 8
8		 9
7		 1
6		 2
5		 3
4
6
2		 4
1		 5
3		 9
8		 7
7		 8
9		 3
5		 1
4		 2
6
2
7		 3
9		 1
8		 5
4		 6
6		 4
5		 8
1		 9
3		 7
2
1
9		 2
8		 3
7		 4
6		 5
5		 6
4		 7
3		 8
2		 9
1
3
8		 1
7		 2
9		 6
5		 4
4		 5
6		 9
2		 7
1		 8
3
8
4		 9
6		 7
5		 2
1		 3
3		 1
2		 5
7		 6
9		 4
8
7
6		 8
5		 9
4		 1
3		 2
2		 3
1		 4
9		 5
8		 6
7
9
5		 7
4		 8
6		 3
2		 1
1		 2
3		 6
8		 4
7		 5
9

참조[편집 | 원본 편집]

각주

  1. ↑ Colbourn, Chalres J., Dinitz, Jeffrey H.. 《Handbook of Combinatorial Designs》, 2판 (en), CRC Press. ISBN 9781420010541
  2. ↑ 참조 : #
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