라그랑주의 정리 (군론)

틀:학술 라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다.

진술

K를 유한군 G의 부분군이라고 가정하자. 그러면 K의 위수 |K|는 G의 위수 |G|를 나눈다. 특히, 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ |G|=|K|[G:K] }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ [G:K] }[/math]는 G에 대한 K의 지표를 뜻한다.

증명

[math]\displaystyle{ [G:K]=n }[/math]이라고 하자. 그러면 지표의 정의에 의해 G를 n개의 서로 다른 우잉여류의 합집합으로 나타낼 수 있다. [math]\displaystyle{ c_1,\cdots,c_n }[/math]을 서로 다른 G의 원소라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ G=\bigcup_{i=1}^n Kc_i }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ Kc_1,\cdots,Kc_n }[/math]은 서로소이므로,

[math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |Kc_i| }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ |Kc_i|=|K| }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |K|=n|K|=|K|[G:K] }[/math]

이다.