라그랑주의 정리 (군론)

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라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다.

진술

K를 유한군 G의 부분군이라고 가정하자. 그러면 K의 위수 |K|는 G의 위수 |G|를 나눈다. 특히, 다음 식이 성립한다.

[math]\displaystyle{ |G|=|K|[G:K] }[/math]

이때 [math]\displaystyle{ [G:K] }[/math]는 G에 대한 K의 지표를 뜻한다.

증명

[math]\displaystyle{ [G:K]=n }[/math]이라고 하자. 그러면 지표의 정의에 의해 G를 n개의 서로 다른 우잉여류의 합집합으로 나타낼 수 있다. [math]\displaystyle{ c_1,\cdots,c_n }[/math]을 서로 다른 G의 원소라고 하자. 그러면

[math]\displaystyle{ G=\bigcup_{i=1}^n Kc_i }[/math]

이다. 이때 [math]\displaystyle{ Kc_1,\cdots,Kc_n }[/math]은 서로소이므로,

[math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |Kc_i| }[/math]

이다. [math]\displaystyle{ |Kc_i|=|K| }[/math]이므로

[math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |K|=n|K|=|K|[G:K] }[/math]

이다.

따름정리

• g를 유한군 G의 원소라 하자. 그러면 g의 위수는 G의 위수를 나눈다.
• [math]\displaystyle{ |G|=k }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^k=e }[/math]이다.
• H, K가 유한군 G의 부분군이고 K⊆H이라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ [G:K]=[G:H][H:K] }[/math]이다.

예

군론(group theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange theorem)는 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 위수(位數,order)는 G의 위수를 나눈다는 정리로 이로써 대칭군 G 의 부분군 H가 ‘G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수’ 라는 라그랑주정리로부터 잉여류(coset)를 조사할수있다.

[math]\displaystyle{ 3! }[/math]인 위수(order) [math]\displaystyle{ |G6| \text{또는} Ord(G6) = \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} }[/math]를 가정하면

순환군으로부터 부분군 [math]\displaystyle{ H = \left\{ I,II,III ,IV\right\} }[/math]는

[math]\displaystyle{ I = \left\{ (312), (123),(231) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ II = \left\{ (132) , (123) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ IV = \left\{ (321), (123) \right\} }[/math] 에서

[math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ III \cdot G }[/math]	[math]\displaystyle{ G \cdot III }[/math]	잉여류(coset)
[math]\displaystyle{ G= \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} \text{중} \left\{ (123) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 123 =123 \\ 213 \cdot 123 = 213 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix} 123 \cdot 123= 123 \\ 123 \cdot 213 = 213 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (123),(213) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (123),(213) }[/math]는 서로 같다.
[math]\displaystyle{ G \text{중} (231) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 231 = 231 \\ 213 \cdot 231 = 321 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}231 \cdot 123 = 231 \\ 231 \cdot 213 = 132 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (231),(132) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (231),(321) }[/math]는 서로 같지않다.
[math]\displaystyle{ G \text{중} (312) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 312 = 312 \\ 213 \cdot 312 = 132 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}312 \cdot 123 = 312 \\ 312 \cdot 213 = 321 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (312),(321) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (312),(132) }[/math]는 서로 같지않다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (132) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 132 = 132 \\ 213 \cdot 132 = 312 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}132 \cdot 123 = 132 \\ 132 \cdot 213 = 231 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (132),(231) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (132),(312) }[/math]는 서로 같지않다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (213) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 213 = 213 \\ 213 \cdot 213 = 123 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}213 \cdot 123 = 213 \\ 213 \cdot 213 = 123 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (213),(123) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (213),(123) }[/math]는 서로 같다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (321) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 321 = 321 \\ 213 \cdot 321 = 231 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}321 \cdot 123 = 321 \\ 321 \cdot 213 = 312 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (321),(312) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (321),(231) }[/math]는 서로 같지않다

좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\{ (123),(213) \right\} \text{ 와 } \left\{ (312),(321) \right\} \text{ 그리고 } \left\{(132),(231)\right\} }[/math] 이다. 좌잉여류(left coset)는 3개이다.

[math]\displaystyle{ {{ |G|} \over { |H|}} = gH(\text{잉여류}) }[/math]

[math]\displaystyle{ {{6} \over {2}} = 3 }[/math]

따라서 'G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수'를 확인할수있다.

관련 문서

• 실로우 정리

참고문헌

• Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336
• [참고] A First Course in Abstract Algebra, 7th Edition by John B. Fraleigh ,Pearson 2002
• [참고] Basic Modern Algebra 알기쉬운 현대대수학 조용욱 경문사 2016