도박사의 파산 편집하기


'''도박사의 파산'''({{영어|Gambler's ruin}})은 유한한 자금을 가진 도박사가 [[도박]]을 계속할 경우 [[파산]]할 수밖에 없음을 보여주는 문제다. 아래 문제와 풀이를 잘 보고 도박의 늪에 빠지지 않도록 하자.

간단히 요약하자면 '도박'이라는 게임이 성립하기 위한 특성을 조건으로 하여 '''반복 시행을 거칠수록''' 도전자가 목표에 닿을 확률은 '''점점 0에 수렴'''하게 된다는 것이다. 만일 도박을 할 것이라면 승패에 무관하게 단판으로 끝내는 것이 가장 효율적이라는 뜻이기도 하다.

== 역사 ==
1656년에 [[블레즈 파스칼]]이 [[피에르 드 페르마]]에게 다음 문제를 낸 것이 시초라고 한다. 피에르 드 카르카비(Pierre de Carcavi)는 [[크리스티안 하위헌스]]에게 보내는 편지에서 문제를 다음과 같이 요약했다.<ref>Mat Willmott
 (2002). [http://web.mit.edu/willmott/Public/gamblersruin.pdf Variations on the Gambler’s Ruin Problem]. 2015년 7월 7일에 확인.</ref>
{{인용문2|두 사람이 주사위 세 개를 굴려서 첫 번째 사람은 11을 굴리면 득점하고, 두 번째 사람은 14를 굴리면 득점한다고 하자. 그런데 득점이 누적되는 기존 방식 대신에 상대방의 점수가 0이면 1점을 얻고, 그렇지 않으면 상대방의 점수를 빼도록 하자. 그것은 마치 두 점수가 짝을 지어 서로를 상쇄하여 지고 있는 쪽이 항상 0점인 것처럼 보인다. 12점을 먼저 얻는 사람이 승자가 된다. 그러면 각 참여자가 이길 확률은 얼마일까?}}
크리스티안 하위헌스는 1657년에 ''De Ratiociniis in Ludo Aleae''라는 책을 출판하면서 이 문제를 다루었다.<ref>Huygens (1657). [http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf ''De Ratiociniis in Ludo Aleae'']. 2015년 7월 7일에 확인.</ref>
{{인용문2|문제 5. 사람 ''A'', ''B''는 자금 12를 가지고 시작하여 주사위 세 개를 굴려서 ''A''는 11이 나올 때, ''B''는 14가 나올 때 상대에게서 자금을 1 가져온다. 먼저 전액을 획득하는 사람이 승리한다. 이때 ''A''와 ''B''가 이길 확률의 비는 244,140,625 : 282,429,536,481이다.}}
== 문제 ==
사람 <math>A,B</math>가 각각 자금 <math>i, N-i</math>를 가지고 있고, 앞면이 나올 확률이 ''p''인 동전을 던져서 앞면이 나오면 ''A''가 ''B''에게 자금 1을 받고, 반대로 뒷면이 나오면 ''B''가 ''A''에게 자금 1을 받는다. 동전 던지기를 반복했을 때 ''A''가 자금 ''N''을 독차지할 확률은 얼마일까?

== 풀이 ==
''A''가 자금 ''N''을 독차지하는 사건을 ''E''로 두고, 자금 ''i''를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률을 <math>P_i</math>라 하자. 그러면
: <math>P_i=P(E)</math>
이고, 첫 번째 게임에서 앞면이 나오는 사건을 ''F''라 하면 전확률의 법칙(law of total probability)에 의해
: <math>P(E)=P(E|F)P(F)+P(E|F^c)P(F^c)</math>
이다. 만약 ''F''가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i+1</math>을 가지고, 반대로 <math>F^c</math>가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i-1</math>을 가진다. 따라서
: <math>P(E|F)=P_{i+1}</math>
: <math>P(E|F^c)=P_{i-1}</math>
이다. 따라서
: <math>P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math>
이다. 그러면
: <math>pP_i+(1-p)P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math>
이므로
: <math>P_{i+1}-P_i=\frac{1-p}{p}(P_i-P_{i-1})</math>
이다. 그러면
: <math>\begin{align}
P_2-P_1&=\frac{1-p}{p}(P_1-P_0)\\
P_3-P_2&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2(P_1-P_0)\\
&\vdots\\
P_i-P_{i-1}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}(P_1-P_0)
\end{align}</math>
이고 <math>P_0=0</math>이므로 양변을 더하면
: <math>P_i=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)P_1</math>
이므로 등비수열의 합의 공식에 의해
: <math>P_i=\begin{cases}
\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\
iP_1,&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
이다. 한편 <math>P_N=1</math>이므로
: <math>P_N=\begin{cases}
\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\
NP_1,&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
에서
: <math>P_1=\begin{cases}
\frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{1}{N},&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
을 얻는다. 따라서
: <math>P_i=\begin{cases}
\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{i}{N},&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
을 얻는다.

한편 <math>Q_i</math>을 ''B''가 자금 <math>N-i</math>를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률이라 하면
: <math>Q_i=\begin{cases}
\frac{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^i}{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{N-i}{N},&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
이다. 그러면
: <math>P_i+Q_i=1</math>
이므로 ''A'', ''B'' 중 하나는 반드시 파산함을 안다.

도박사가 카지노에서 도박을 한다고 가정하자. 그러면 카지노는 자금을 많이 가지고 있으므로 <math>N\to\infty</math>라고 가정할 수 있다. 만약 <math>p<\frac{1}{2}</math>라면, <math>\frac{1-p}{p}>1</math>이므로 <math>N\to\infty</math>일 때 <math>P_i\to 0</math>이다. 즉 ''A''는 파산할 것이 확실하다. 심지어 <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때도 파산하는 건 기정사실인데, 왜냐 하면 <math>N\to\infty</math>이면 <math>\frac{i}{N}\to 0</math>이기 때문이다. 그나마 <math>p>\frac{1}{2}</math>일 때 <math>P_i</math>는 0이 아닌 유한한 값으로 수렴한다. 그러나 이런 게임을 카지노가 마련해둘 리는 없다.

== 전략 세우기 ==
[[파일:ruingraph.png|섬네일|<math>p=0.48</math>이고 도박사가 100만 원을 가지고 500만 원을 따려고 할 때, 판돈에 따라 도박사가 승리할 확률을 나타낸 그래프
{| class="wikitable" style="text-align:right;"
! 판돈
! ''i''
! ''N''
! 승리 확률
|-
| 1만 원
| 100
| 500
| 1.245×10<sup>-14</sup>
|-
| 2만 원
| 50
| 250
| 1.095×10<sup>-7</sup>
|-
| 4만 원
| 25
| 125
| 2.889×10<sup>-4</sup>
|-
| 10만 원
| 10
| 50
| 0.023
|-
| 20만 원
| 5
| 25
| 0.077
|-
| 50만 원
| 2
| 10
| 0.142
|-
| 100만 원
| 1
| 5
| 0.169
|}]]
위에서 도박은 파멸을 불러올 뿐이라고 설명했음에도 불구하고 기어이 도박의 늪에 빠졌다면 [[장기매매|장기를 최대한 덜 털릴]] 방법을 찾아보도록 하자. 이제 당신이 100만 원을 가지고 있다고 가정하자. 먼저 돈을 계속 딸 수 있다는 환상 따위는 집어치워야 한다. 어느 정도 돈을 따면 당장 자리에서 일어나도록 하자. 대개의 경우 도박사가 도박에서 이길 확률은 1/2보다 약간 낮거나 같다. 앞에서
: <math>P_i=\begin{cases}
\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\
\frac{i}{N},&p=\frac{1}{2}
\end{cases}</math>
임을 보였다. 만약 <math>p\le\frac{1}{2}</math>이면, <math>P_i</math>는 ''N''에 대한 감소함수이다. 즉 게임을 질질 끄는 것은 도박사에게 별로 좋지 않다는 것이다.

당신이 500만 원을 따려고 한다고 하자. 그럼 상대는 400만 원을 가지고 있다고 가정할 수 있다. 각 게임마다 당신이 이길 확률이 <math>p=0.48</math>이라고 가정하자.

오른쪽 표를 보면 한번에 많은 돈을 걸수록 도박사에게 유리해짐을 알 수 있다. 실제로
: <math>f(x)=\frac{1-\left(\frac{13}{12}\right)^{\frac{100}{x}}}{1-\left(\frac{13}{12}\right)^{\frac{500}{x}}}\quad(0< x\le 100)</math>
의 그래프를 그리면 증가함수가 됨을 알 수 있다. 물론 그래봤자 확률의 최댓값이 0.2를 넘지 않으니 그저 눈물이 앞을 가릴 뿐이다.

== 게임 지속시간 ==
여기서는 도박사가 돈을 딸 수 있을 거라는 환상이 얼마나 지속될 수 있는지 예측하려고 한다. ''i''의 자금을 가지고 있을 때 게임의 평균 지속시간을 <math>T_i</math>라고 하자. 물론 <math>T_i<\infty</math>인데, 앞에서 자신과 상대 중 한 명은 반드시 돈이 다 털린다는 것을 알았기 때문이다. 이때 첫 판에서 성공했을 때는 <math>i+1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i+1}+1</math>, 반대로 실패했을 때는 <math>i-1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i-1}+1</math>이다. 따라서
: <math>T_i=pT_{i+1}+(1-p)T_{i-1}+1,\quad 0< i< N</math>
: <math>T_0=T_N=0</math>
<math>p\ne\frac{1}{2}</math>일 때,
: <math>p\left(T_{i+1}-T_i-\frac{1}{1-2p}\right)=(1-p)\left(T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}\right)</math>
이므로
: <math>\begin{align}
T_2-T_1-\frac{1}{1-2p}&=\frac{1-p}{p}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\
T_3-T_2-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\
&\vdots\\
T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)
\end{align}</math>
이고 <math>T_0=0</math>이므로 양변을 모두 더하면
: <math>\begin{align}
T_i-\frac{i}{1-2p}&=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)\\
&=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)
\end{align}</math>
이고 <math>T_N=0</math>이므로
: <math>T_N=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)+\frac{N}{1-2p}=0</math>
이고, 방정식을 풀면
: <math>T_1-\frac{1}{1-2p}=-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math>
이다. 따라서
: <math>T_i=\frac{i}{1-2p}-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math>
을 얻는다.

== 시뮬레이션 ==

== 변형 ==

== 외부 링크 ==
* Steven R. Dunbar (2013). [http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/FirstStepAnalysis/RuinProbs/ruinprobs.pdf Ruin Probabilities]. 2015년 7월 8일에 확인.
* Luc Rey-Bellet. [http://people.math.umass.edu/~lr7q/ps_files/teaching/math456/Week4.pdf Week 4: Gambler’s ruin and bold play]. 2015년 7월 8일에 확인.

== 같이 보기 ==
* [[몬티 홀 게임]]
* [[임의보행]]

{{각주}}

[[분류:확률론]]
@@ 129번째 줄: / 129번째 줄: @@
 : <math>T_i=pT_{i+1}+(1-p)T_{i-1}+1,\quad 0< i< N</math>
 : <math>T_0=T_N=0</math>
-이다. <math>p\ne\frac{1}{2}</math>일 때,
+<math>p\ne\frac{1}{2}</math>일 때,
 : <math>p\left(T_{i+1}-T_i-\frac{1}{1-2p}\right)=(1-p)\left(T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}\right)</math>
 이므로
@@ 149번째 줄: / 149번째 줄: @@
 이다. 따라서
 : <math>T_i=\frac{i}{1-2p}-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math>
-을 얻는다. <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때,
+을 얻는다.
-: <math>T_i=\frac{1}{2}T_{i+1}+\frac{1}{2}T_{i-1}+1</math>
-이므로
-: <math>T_{i+1}-T_i=T_i-T_{i-1}-2</math>
-이다. 따라서 수열 <math>(T_{i}-T_{i-1})_{i=1}^N</math>은 공차 -2인 [[등차수열]]이다. <math>T_0=0</math>이므로,
-: <math>\begin{align}
-T_1-T_0&=T_1\\
-T_2-T_1&=T_1-2\\
-T_3-T_2&=T_1-4\\
-&\vdots\\
-T_{i}-T_{i-1}&=T_1-2(i-1)
-\end{align}</math>
-이다. 따라서
-: <math>T_i=iT_1-i(i-1)</math>
-이고 <math>T_N=0</math>이므로
-: <math>T_N=NT_1-N(N-1)=0</math>
-이다. 식을 풀면
-: <math>T_1=N-1</math>
-를 얻는다. 따라서
-: <math>T_i=i(N-i)</math>
-이다.
 == 시뮬레이션 ==