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[http://web.mit.edu/willmott/Public/gamblersruin.pdf Variations on the Gambler’s Ruin Problem]. 2015년 7월 7일에 확인.</ref> {{인용문2|두 사람이 주사위 세 개를 굴려서 첫 번째 사람은 11을 굴리면 득점하고, 두 번째 사람은 14를 굴리면 득점한다고 하자. 그런데 득점이 누적되는 기존 방식 대신에 상대방의 점수가 0이면 1점을 얻고, 그렇지 않으면 상대방의 점수를 빼도록 하자. 그것은 마치 두 점수가 짝을 지어 서로를 상쇄하여 지고 있는 쪽이 항상 0점인 것처럼 보인다. 12점을 먼저 얻는 사람이 승자가 된다. 그러면 각 참여자가 이길 확률은 얼마일까?}} 크리스티안 하위헌스는 1657년에 ''De Ratiociniis in Ludo Aleae''라는 책을 출판하면서 이 문제를 다루었다.<ref>Huygens (1657). [http://www.stat.ucla.edu/history/huygens.pdf ''De Ratiociniis in Ludo Aleae'']. 2015년 7월 7일에 확인.</ref> {{인용문2|문제 5. 사람 ''A'', ''B''는 자금 12를 가지고 시작하여 주사위 세 개를 굴려서 ''A''는 11이 나올 때, ''B''는 14가 나올 때 상대에게서 자금을 1 가져온다. 먼저 전액을 획득하는 사람이 승리한다. 이때 ''A''와 ''B''가 이길 확률의 비는 244,140,625 : 282,429,536,481이다.}} == 문제 == 사람 <math>A,B</math>가 각각 자금 <math>i, N-i</math>를 가지고 있고, 앞면이 나올 확률이 ''p''인 동전을 던져서 앞면이 나오면 ''A''가 ''B''에게 자금 1을 받고, 반대로 뒷면이 나오면 ''B''가 ''A''에게 자금 1을 받는다. 동전 던지기를 반복했을 때 ''A''가 자금 ''N''을 독차지할 확률은 얼마일까? == 풀이 == ''A''가 자금 ''N''을 독차지하는 사건을 ''E''로 두고, 자금 ''i''를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률을 <math>P_i</math>라 하자. 그러면 : <math>P_i=P(E)</math> 이고, 첫 번째 게임에서 앞면이 나오는 사건을 ''F''라 하면 전확률의 법칙(law of total probability)에 의해 : <math>P(E)=P(E|F)P(F)+P(E|F^c)P(F^c)</math> 이다. 만약 ''F''가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i+1</math>을 가지고, 반대로 <math>F^c</math>가 발생하면 ''A''는 자금 <math>i-1</math>을 가진다. 따라서 : <math>P(E|F)=P_{i+1}</math> : <math>P(E|F^c)=P_{i-1}</math> 이다. 따라서 : <math>P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math> 이다. 그러면 : <math>pP_i+(1-p)P_i=pP_{i+1}+(1-p)P_{i-1}</math> 이므로 : <math>P_{i+1}-P_i=\frac{1-p}{p}(P_i-P_{i-1})</math> 이다. 그러면 : <math>\begin{align} P_2-P_1&=\frac{1-p}{p}(P_1-P_0)\\ P_3-P_2&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2(P_1-P_0)\\ &\vdots\\ P_i-P_{i-1}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}(P_1-P_0) \end{align}</math> 이고 <math>P_0=0</math>이므로 양변을 더하면 : <math>P_i=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)P_1</math> 이므로 등비수열의 합의 공식에 의해 : <math>P_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\ iP_1,&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 이다. 한편 <math>P_N=1</math>이므로 : <math>P_N=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}P_1,&p\ne\frac{1}{2}\\ NP_1,&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 에서 : <math>P_1=\begin{cases} \frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{1}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 을 얻는다. 따라서 : <math>P_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{i}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 을 얻는다. 한편 <math>Q_i</math>을 ''B''가 자금 <math>N-i</math>를 가지고 있을 때 자금 ''N''을 독차지할 확률이라 하면 : <math>Q_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^i}{1-\left(\frac{p}{1-p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{N-i}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 이다. 그러면 : <math>P_i+Q_i=1</math> 이므로 ''A'', ''B'' 중 하나는 반드시 파산함을 안다. 도박사가 카지노에서 도박을 한다고 가정하자. 그러면 카지노는 자금을 많이 가지고 있으므로 <math>N\to\infty</math>라고 가정할 수 있다. 만약 <math>p<\frac{1}{2}</math>라면, <math>\frac{1-p}{p}>1</math>이므로 <math>N\to\infty</math>일 때 <math>P_i\to 0</math>이다. 즉 ''A''는 파산할 것이 확실하다. 심지어 <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때도 파산하는 건 기정사실인데, 왜냐 하면 <math>N\to\infty</math>이면 <math>\frac{i}{N}\to 0</math>이기 때문이다. 그나마 <math>p>\frac{1}{2}</math>일 때 <math>P_i</math>는 0이 아닌 유한한 값으로 수렴한다. 그러나 이런 게임을 카지노가 마련해둘 리는 없다. == 전략 세우기 == [[파일:ruingraph.png|섬네일|<math>p=0.48</math>이고 도박사가 100만 원을 가지고 500만 원을 따려고 할 때, 판돈에 따라 도박사가 승리할 확률을 나타낸 그래프 {| class="wikitable" style="text-align:right;" ! 판돈 ! ''i'' ! ''N'' ! 승리 확률 |- | 1만 원 | 100 | 500 | 1.245×10<sup>-14</sup> |- | 2만 원 | 50 | 250 | 1.095×10<sup>-7</sup> |- | 4만 원 | 25 | 125 | 2.889×10<sup>-4</sup> |- | 10만 원 | 10 | 50 | 0.023 |- | 20만 원 | 5 | 25 | 0.077 |- | 50만 원 | 2 | 10 | 0.142 |- | 100만 원 | 1 | 5 | 0.169 |}]] 위에서 도박은 파멸을 불러올 뿐이라고 설명했음에도 불구하고 기어이 도박의 늪에 빠졌다면 [[장기매매|장기를 최대한 덜 털릴]] 방법을 찾아보도록 하자. 이제 당신이 100만 원을 가지고 있다고 가정하자. 먼저 돈을 계속 딸 수 있다는 환상 따위는 집어치워야 한다. 어느 정도 돈을 따면 당장 자리에서 일어나도록 하자. 대개의 경우 도박사가 도박에서 이길 확률은 1/2보다 약간 낮거나 같다. 앞에서 : <math>P_i=\begin{cases} \frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N},&p\ne\frac{1}{2}\\ \frac{i}{N},&p=\frac{1}{2} \end{cases}</math> 임을 보였다. 만약 <math>p\le\frac{1}{2}</math>이면, <math>P_i</math>는 ''N''에 대한 감소함수이다. 즉 게임을 질질 끄는 것은 도박사에게 별로 좋지 않다는 것이다. 당신이 500만 원을 따려고 한다고 하자. 그럼 상대는 400만 원을 가지고 있다고 가정할 수 있다. 각 게임마다 당신이 이길 확률이 <math>p=0.48</math>이라고 가정하자. 오른쪽 표를 보면 한번에 많은 돈을 걸수록 도박사에게 유리해짐을 알 수 있다. 실제로 : <math>f(x)=\frac{1-\left(\frac{13}{12}\right)^{\frac{100}{x}}}{1-\left(\frac{13}{12}\right)^{\frac{500}{x}}}\quad(0< x\le 100)</math> 의 그래프를 그리면 증가함수가 됨을 알 수 있다. 물론 그래봤자 확률의 최댓값이 0.2를 넘지 않으니 그저 눈물이 앞을 가릴 뿐이다. == 게임 지속시간 == 여기서는 도박사가 돈을 딸 수 있을 거라는 환상이 얼마나 지속될 수 있는지 예측하려고 한다. ''i''의 자금을 가지고 있을 때 게임의 평균 지속시간을 <math>T_i</math>라고 하자. 물론 <math>T_i<\infty</math>인데, 앞에서 자신과 상대 중 한 명은 반드시 돈이 다 털린다는 것을 알았기 때문이다. 이때 첫 판에서 성공했을 때는 <math>i+1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i+1}+1</math>, 반대로 실패했을 때는 <math>i-1</math>의 자금을 가지고 시작할 때와 같고 이때 기대시간은 <math>T_{i-1}+1</math>이다. 따라서 : <math>T_i=pT_{i+1}+(1-p)T_{i-1}+1,\quad 0< i< N</math> : <math>T_0=T_N=0</math> 이다. <math>p\ne\frac{1}{2}</math>일 때, : <math>p\left(T_{i+1}-T_i-\frac{1}{1-2p}\right)=(1-p)\left(T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}\right)</math> 이므로 : <math>\begin{align} T_2-T_1-\frac{1}{1-2p}&=\frac{1-p}{p}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\ T_3-T_2-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^2\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right)\\ &\vdots\\ T_i-T_{i-1}-\frac{1}{1-2p}&=\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\left(T_1-T_0-\frac{1}{1-2p}\right) \end{align}</math> 이고 <math>T_0=0</math>이므로 양변을 모두 더하면 : <math>\begin{align} T_i-\frac{i}{1-2p}&=\left(1+\frac{1-p}{p}+\left(\frac{1-p}{p}\right)^2+\cdots+\left(\frac{1-p}{p}\right)^{i-1}\right)\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)\\ &=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right) \end{align}</math> 이고 <math>T_N=0</math>이므로 : <math>T_N=\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}{1-\frac{1-p}{p}}\left(T_1-\frac{1}{1-2p}\right)+\frac{N}{1-2p}=0</math> 이고, 방정식을 풀면 : <math>T_1-\frac{1}{1-2p}=-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\frac{1-p}{p}}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math> 이다. 따라서 : <math>T_i=\frac{i}{1-2p}-\frac{N}{1-2p}\frac{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^i}{1-\left(\frac{1-p}{p}\right)^N}</math> 을 얻는다. <math>p=\frac{1}{2}</math>일 때, : <math>T_i=\frac{1}{2}T_{i+1}+\frac{1}{2}T_{i-1}+1</math> 이므로 : <math>T_{i+1}-T_i=T_i-T_{i-1}-2</math> 이다. 따라서 수열 <math>(T_{i}-T_{i-1})_{i=1}^N</math>은 공차 -2인 [[등차수열]]이다. <math>T_0=0</math>이므로, : <math>\begin{align} T_1-T_0&=T_1\\ T_2-T_1&=T_1-2\\ T_3-T_2&=T_1-4\\ &\vdots\\ T_{i}-T_{i-1}&=T_1-2(i-1) \end{align}</math> 이다. 따라서 : <math>T_i=iT_1-i(i-1)</math> 이고 <math>T_N=0</math>이므로 : <math>T_N=NT_1-N(N-1)=0</math> 이다. 식을 풀면 : <math>T_1=N-1</math> 를 얻는다. 따라서 : <math>T_i=i(N-i)</math> 이다. == 시뮬레이션 == == 변형 == == 외부 링크 == * Steven R. Dunbar (2013). [http://www.math.unl.edu/~sdunbar1/MathematicalFinance/Lessons/FirstStepAnalysis/RuinProbs/ruinprobs.pdf Ruin Probabilities]. 2015년 7월 8일에 확인. * Luc Rey-Bellet. [http://people.math.umass.edu/~lr7q/ps_files/teaching/math456/Week4.pdf Week 4: Gambler’s ruin and bold play]. 2015년 7월 8일에 확인. == 같이 보기 == * [[몬티 홀 게임]] * [[임의보행]] {{각주}} [[분류:확률론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어 (원본 보기) (준보호됨)틀:영어= (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문2 (원본 보기) (준보호됨)이 문서는 다음의 숨은 분류 1개에 속해 있습니다: 분류:영어 표기를 포함한 문서