덧셈 편집하기

[[사칙연산]]에서 [[곱셈]]과 함께 가장 기본적, 독립적인 연산으로, [[산술]]에서 가장 처음 시행하는 것이다. <del>이걸 못하는 사람은 아마 없을 거다. 최소한 [[1+1=귀요미|1+1]]이라도...</del> <del>그 덧셈이 아니라 [[배타적 논리합]]이라면?</del>

기호는 더하기표(+)를 쓴다. 반대 개념으로는 [[뺄셈]]이 있다.

==정의==

=== [[자연수]]의 덧셈 ===
자연수의 덧셈은 [[수학적 귀납법|귀납적]]으로 다음과 같이 정의한다.

''n''이 자연수이고 ''S''(''n'')은 ''n''의 다음수(successor)일 때,
* ''n''+1 := ''S''(''n'')
* ''m''이 자연수일 때 ''n''+''S''(''m'') = ''S''(''n''+''m'')

=== [[정수]]의 덧셈 ===
정수의 덧셈은 자연수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 자연수 [[반군|반군(semigroup)]](혹은 [[모노이드|모노이드(monoid)]])에서 [[그로텐디크 군|그로텐디크 군(Grothendieck group)]]을 얻을 때 덧셈이 자연스럽게 같이 확장된다.

기본 아이디어는 이렇다. 모든 정수는 어떤 두 자연수의 차로 나타낼 수 있는데, 두 정수 ''a''=''k''−''l'', ''b''=''m''−''n''에 대하여 ''a''와 ''b''의 합을 아래와 같이 정의한다.
: <math>a+b := (k+m)-(l+n)</math>
두 자연수의 차로 나타내는 방법이 여럿 있을 수 있지만 그로텐디크 군을 얻을 때 다 해결된다.

=== [[유리수]]의 덧셈 ===
유리수의 덧셈은 정수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 정수 [[정역|정역(integral domain)]]에서 [[분수체|분수체(field of fractions)]]를 얻을 때 덧셈과 곱셈이 자연스럽게 같이 확장된다.

기본 아이디어는 이렇다. 모든 유리수는 어떤 두 정수의 몫으로 나타낼 수 있는데, 두 유리수 ''p''=''a''/''b'', ''q''=''c''/''d''에 대하여(당연히 ''b'', ''d''≠0) ''p''와 ''q''의 합을 아래와 같이 정의한다.
: <math> p+q := \frac{ad+bc}{bd}</math>
두 정수의 몫으로 나타내는 방법이 여럿 있을 수 있지만 분수체를 얻을 때 다 해결된다.

=== [[실수]]의 덧셈 ===
실수를 정의할 때는 극한 개념이 들어가서 조금 복잡하다.

* [[데데킨트 절단|데데킨트 절단(Dedekind cut)]]을 이용하는 경우

모든 실수는 데데킨트 왼집합(Dedekind left set)인데, 두 실수 <math>r, s \subset \mathbb{Q}</math>에 대하여 ''r''과 ''s''의 합은 다음과 같이 정의된다.
: <math> r+s := \{ p+q | p \in r \wedge q \in s \}</math>

* [[코시 수열|코시 수열(Cauchy sequence)]]을 이용하는 경우

모든 실수는 그 실수로 수렴하는 어떤 유리수열로 나타낼 수 있는데(?), 두 실수 <math>r=\overline{\{a_n\}}, s=\overline{\{b_n\}}</math>에 대하여 ''r''과 ''s''의 합은 다음과 같이 정의된다.
: <math>r+s := \overline{\{a_n + b_n\}}</math>

상세한 내용은 [[실수]] 참조.

=== [[복소수]]의 덧셈 ===
복소수의 덧셈은 실수의 덧셈을 확장하여 얻는다. 실수체에서 [[크로네커 정리|크로네커 정리(Kronecker’s theorem)]]를 이용하여 복소수체를 얻을 때 다 해결되긴 하지만 아래와 같이 이해해도 된다.

모든 복소수는 실수 ''a'', ''b''에 대해 ''a''+''bi'' 꼴로 유일하게 나타낼 수 있는데, 두 복소수 ''z''=''x''+''yi''와 ''w''=''u''+''vi''에 대하여 ''z''와 ''w''의 합은 다음과 같이 정의된다.
: <math>z+w := (x+u) + (y+v)i</math>

=== 대수구조의 덧셈 ===
[[아벨군]]의 연산을 덧셈으로 쓴다.

따라서 [[벡터공간|''K''벡터공간]], [[환 (수학)|환]], [[가군 (수학)|''R''가군]], [[대수|''R''대수]] 등에 덧셈이 존재하며, 이들 덧셈의 정의는 각 개별적 대수구조에서 정의된 대로의 정의를 갖는다.

[[분류:산술]]