대수기하학

개요

아주 간단하게 말하자면, 고등학교 해석기하학의 일반화. 단 고등학교 해석기하학은 R 위에서 전개되는데, 대수기하학에선 R보단 C에서 전개된다. C가 algebraically closed field이기 때문이다. 이는 방정식의 해에 대한 여러가지 성질이 정확하게 들어맞도록 해준다.

간단한 역사

대수기하학의 시초는 1600년대에도 있었다. 데카르트가 좌표평면을 생각하고 해석기하학을 만들 때 방정식의 해와 intersection property를 각각 기하학적, 대수학적으로 생각할 수 있었고, Bézout's theorem는 아이작 뉴턴도 그 존재를 눈치챘고. 1800년대 초반에는 projective plane이 어떻게 해서 중요한지 수학자들이 알게 되었고, '"R'"보단 '"C"'가 대수기하학을 생각하기에 훨씬 좋은 field라는 것도 깨닫게 된다.

그 외에도 Klein은 모든 기하학은 transformation의 관점에서 생각해야 한다는 주장을 했고, 이는 대수기하학에 영향을 미친다. birational mapping을 생각하게 된 건데, Klein이 생각했던 transformation보다 훨씬 더 일반적인 mapping이다. 이것이 중요한 이유는 이것으로 algebraic curve나 algebraic surface를 classify할 수 있기 때문에.

20세기를 지나면서 대수기하학은 가환대수학 (commutative algebra)과 엮기게 된다. 전체 공간은 어떤 polynomial ring하고 같고, Hilbert Nullstellensatz를 생각하면 그 ring의 prime ideal과 어떤 대수기하학의 연구대상. algebraic variety 의 subvariety는 서로 대응관계를 가진다. 특히 maximal ideal은 그 algebraic variety의 점들과 대응이 된다. 이를 눈치챈 여러 수학자들. Krull이나 Noether, Zariski는 대수기하학을 가환대수의 언어로 다시 쓰기 시작한다.

19세기 말부터 Italian school of algebraic geometry라는 것이 있었는데. Riemann-Roch theorem이라는 정리에서 시작해서 curve와 surface를 분류하겠다고 나온 곳이 이 곳. curve를 genus라는 것을 기준으로 처음으로 분류한 곳도 바로 이 곳이고 그 외에도 여러가지를 분류했는데, 1950년대 이후로 사라지고 말았다. 수학이라면서 너무 직관에만 의존하고 엄밀한 논증을 거치지 않은 것. 예를 들어서 Barth sextic은 65개의 double point를 가지고 있는데, 이곳에선 52개 있다고 해버렸다. (...) 1950년대 이후로 대수기하학은 극도로 엄밀화되고 추상화되는 방향을 거쳤으니 엄밀성과 추상성이 약한 Italian school이 사라지는 것은 어쩌면 당연할 수도 있겠다. 그래도 성과는 있는데, divisor라는 것이 얼마나 유용한지 보여주었다.

1950년대 이후부터 대수기하학은 예전의 직관적이고 기하학적이었던 모습을 벗어 던지고 점점 추상화되었다. 좋게 말하면 대수기하학도 드디어 수학이 되었다는 것이고, 나쁘게 말하면 이건 대수학이지 기하학이 아니다. (...) 그리고 거기의 중심에 있었던 사람은 Grothendieck. 이 때 이후로 대수기하학은 scheme을 중심으로 한 가환대수가 된다. 이렇게 만들어서 좋은 점이 생겼는데, 정수론에 대수기하학을 쓸 수 있게 되었다는 점. 이거 아니었으면 정수론 전공인 필자가 이런 글을 쓸 리도 없었겠지.

1960년대 이후부터는 특별한 경향성을 말하기 힘들다. 필자는 abelian variety의 발전, étale cohomology의 등장, Deligne-Mumford stack 등등등... 으로알고 있는데 이 때부터 대수기하학이 워낙 많은 분야로 갈라졌고 필자는 대수기하학 전공이 아니기에 누가 추가좀 해주세요 엉엉

간단한 역사라는데 길어 보인다

현대의 introduction

먼저 k가 algebraically closed field라고 하자. 그렇다면 X가 k 위의 (affine) algebraic set이라는 것은 k[x₁,...,x_n]의 subset S가 있을 때

X={y=(y₁,...,y_n)|f(y)=0 for all f∈S}

꼴인 set을 말한다. 이는 S를 포함하는 가장 작은 k[x₁,...,x_n]의 ideal J로 대신해서

X={y=(y₁,...,y_n)|f(y)=0 for all f∈J}

로 쓸 수 있고, 따라서 k[x₁,...,x_n]의 ideal은 k 위의 algebraic set 하나를 만든다. 이렇게 해서 J로 만들어지는 algebraic set을 V(J)라고 하자. 그리고 algebraic set은 또 ideal을 만드는데, X가 k 위의 algebraic set이라면

I(X)={f∈k[x₁,...,x_n]|f(x)=0 for all x∈X}

는 k[x₁,...,x_n]의 ideal이 된다. 그리고 Hilbert Nullstellensatz는

I(V(J))=√J

로 표현된다. 여기에서 √J는 J의 radical로

√J={f∈k[x₁,...,x_n]|fⁿ∈J for some n}

로 정의한다. J가 prime ideal이라면 fⁿ∈J for some n과 f∈J는 동치가 되며, p가 prime ideal일 때 V(p)꼴 algebraic set을 algebraic variety라고 부른다면 k[x₁,...,x_n]의 prime ideal과 k 위의 algebraic variety는 완벽하게 대응된다.

이것이 중요한 이유는 우리가 algebraic variety를 다루고 싶을 때 prime ideal을 다루면 되기 때문이다. 그러니까 기하학의 문제가 대수학의 문제로 바뀌었다!!

이제 algebraic set의 Zariski topology를 정의하는데, X가 algebraic set over k일 때 X의 closed set은 X의 subset이면서 algebraic set인 set을 말한다. 그러니까 X=V(J) for some J일 때 X의 closed set은 적당한 J를 부분집합으로 갖는 J'가 있어서

{x=(x₁,...,x_n)|f(x)=0 for all f∈J'}

꼴이다. 그렇다면 algebraic variety는 X의 closed set Z,Z'가 있어서 X=Z∪Z' 라면 Z나 Z' 중 하나는 공집합인 algebraic set으로 재정의할 수 있다. Zariski topology란 직관적으로 유리함수가 정의되는 정의역이다. topology를 이용하면 algebraic variety X의 dimension을 정의할 수 있는데, closed set들의 chain

X ₁ ⊂X ₂ ⊂...⊂X _n-1 ⊂X _n =X

의 최대 길이를 X의 dimension이라고 정의한다. 이는 X에 대응되는 prime ideal p=I(X)로도 정의할 수 있다. 이 정의는 직관적으로 선, 면, 공간,... 이렇게 얼마나 이어질 수 있는지 잰 거라고 생각하면 된다. 일반적인 algebraic set이라면 그 algebraic set의 irreducible closed set들 중에서 dimension이 가장 큰 애의 dimension으로 정의한다. 그리고 dimension 1일 땐 curve, dimension 2일 땐 surface라고 부르자. 예를 들면 k=C일 땐 C 그 자체는 C 위의 curve다.

대수기하학에서 중요한 것들 중 하나는 projective variety인데, 이 때도 affine algebraic variety하고 비슷하게 정의한다. 이 땐 homogenus한 polynomial을 생각하는 것 이외에는 affine algebraic variety하고 정의는 별로 다를 건 없다. 단 point에서 0은 빼주고 서로 상수배 나는 것은 서로 같은 것으로 묶어준다. 그렇다면 이것은 affine algebraic variety들을 여러개 붙인 것과 똑같게 된다.

대수기하학에선 한 점에 대한 local ring을 자주 생각한다. affine algebraic variety X over k를 생각하자. 그렇다면 x∈X일 때

O_x,X={f/g|g(x)≠0}

라고 정의한다. 여기에서 f,g는 모두 k[x₁,...,x_n]의 원소다. 이는 direct limit의 언어를 써서 U가 X 위의 open set일 때

O(U)={f/g|g(y)≠0 for all y∈U}

라고 하고 U가 x의 open neighborhood일 때만 생각해서

O_x,X=lim O(U)

라고 정의할 수도 있다. 이것의 유용한 점은 어떤 한 점의 정보를 ring을 통해서 알아낼 수 있다는 것이다. 그리고 이것은 maximal ideal이 하나밖에 없고, 그 maximal ideal은 바로 I({x})가 된다. x∈X가 X의 nonsingular point라는 것은 O_x,X가 regular local ring이라는 것으로 정의할 수 있고, X가 curve일 때는 regular local ring이라는 것은 곧 discrete valuation ring임을 뜻하는 것이고 그 valuation은 다른 curve와 그 점에서 얼마나 만나는지 알려주는 parameter 역할을 한다.

Scheme

algebraic variety는 유용하지만 algebraically closed field 위에서만 정의되고, 철저히 기하학적 직관으로 쌓여진 정의다. Grothendieck는 이런 정의를 바꿨는데, algebraic variety에서 ring의 존재는 algebraic variety를 어떻게 봐야 할 지 알려주는 역할을 한다면 scheme에선 ring을 그냥 여러개 붙인 것이다.

먼저 R이 commutative ring이라고 하자. 그렇다면 Spec(R)은 R의 모든 prime ideal을 모은 집합으로 정의한다. 이것은 affine algebraic variety의 역할을 하는데, 점 하나가 maximal ideal하고 대응된다면 아예 maximal ideal 자체를 모두 모아버리자는 생각인 것이다. 여기에서 maximal ideal이 아닌 prime ideal까지 같이 모았는데, 그 이유는 prime ideal까지 모은다면 global property를 알아내기 쉽기 때문이다.

이제 Spec(R)에 topology를 주자. R의 ideal I가 있을 때 I를 부분집합으로 가지는 모든 prime ideal들의 집합을 V(I)라고 하자. 이는 위에서 ideal에 대응되는 algebraic set의 역할을 하는 것이다. 그리고 이것들을 closed set으로 하는 topology를 Zariski topology라고 하자.

sheaf라는 것은 간단히 말해서 함수들의 모임이다.그리고 여기에선 U가 Spec(R)의 open set일 때

O(U)={s(p)∈R_p|p∈U}

로 정의한다. 여기에서 R_p는 R을 p로 localizing한 것이다. 이는 자연스럽게 Spec(R)의 sheaf가 되며, locally ringed space를 만든다. 그리고 이렇게 만든 것과 isomorphic한 애를 affine scheme이라고 정의한다. scheme은 locally affine scheme으로. 그러니까, 모든 점들에 대해서 적당한 open neighoborhood가 있어서 그 애가 affine scheme일 때.

affine scheme을 정의할 때 그 sheaf도 같이 정의했는데, 그 sheaf의 stalk와 R의 localization은 정확히 똑같다. 이것의 증명은 반 페이지 정도 되므로 넘긴다 (...)

Grothendieck는 scheme을 볼 때 그 scheme만 보지 않았다. 다른 scheme도 같이 봤다. 그러기 위해선 morphism을 정의해야 하는데, X와 S가 scheme이고 f:X→S가 base가 되는 topological space에 대해서 continuous function일 때 U가 S의 open set이면 이것으로 만들어지는 모든

O_X(f^-1(U))→O_S(U)

에 대해서 이것이 ring homomorphism일 때를 scheme 사이의 morphism이라고 정의하자.

scheme은 매우 광범위한데, scheme을 이용해서 무한소를 정의할 수도 있다. k가 아무 field라면 Spec(k[x]/x²)로. 이렇게 광범위하게 정의하는 이유는 scheme들을 모은 category가 상당히 좋기 때문이다. fiber product가 아주 얌전히 정의되고, scheme에 대한 것은 너무나도 간단하게 ring에 대한 것으로 바뀐다. 그리고 위에서도 말했지만, 정수론같은 완전 다르게 보이는 분야에도 쓸 수 있다!!

원래 Grothendieck는 저것을 scheme이라고 부르지 않고, 조건을 하나 더 추가한 것을 scheme이라고 부르고 지금의 scheme을 prescheme이라고 불렀다. Grothendieck가 불렀던 scheme은 지금은 separeted scheme이라고 부르는데, f:X→Y가 있으면 fiber product의 universal property로

Δ:X→X×_YX

를 정의할 수 있고, 이것이 closed immersion일 때를 f를 separated morphism이라고 부른다. 그리고 Y=Spec(Z)일 때 반드시 모든 scheme은 Y로 가는 유일한 morphism이 있고그 morphism이 separeted morphism일 때 X를 separated scheme이라고 부른다.

교과서

Hartshorne의 algebraic geometry가 좀 많이 유명하다. 하지만 이것은 입문용으론 좀 많이 어렵다. Griffiths의 introduction to algebraic curve를 먼저 보길 바란다. Fulton의 Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry도 좋다. 그 다음엔 Hartshone을 보든 Harris의 algebraic geometry를 보든 아무거나 보면 된다.