로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''단위 반복 수'''(Repunit)는 특정 [[기수법]]에서 모든 자리가 1씩 반복되는 수를 말한다. '''단위 반복 소수'''(Repunit prime)는 단위 반복 수 중 [[소수 (정수)|소수]]인 수들이다. 단위 반복 소수는 [[회문 소수]]와 [[재배열 가능 소수]]에 포함된다. 또, 2진법 단위 반복 소수는 곧 [[메르센 소수]]이다. == 정의 == <math>b</math>진법 <math>n</math>자리 단위 반복 수는 [[등비수열]]의 합으로 표현할 수 있으며, 해당 진법에서 1이 <math>n</math>번 나온다. :<math>R_n^{(b)}=1111 \cdots 11_{(b)}=\sum_{k=0}^{n-1} b^k=\frac{b^n-1}{b-1}, n \geq 1</math> 이 정의에 따르면 3 이상의 모든 자연수 <math>N</math>은 <math>N-1</math>진법 기준 두 자리 단위 반복 수로 나타낼 수 있다. == 단위 반복 수의 성질 == 아래 성질들은 [[메르센 소수]]에서 서술한 메르센 수의 성질과 비슷하다. * <math>R_n^{(b)}=U_n(b+1, b)</math> ― 여기서 <math>U_n</math>은 [[뤼카 수열]]이다. ** '''증명''': <math>a_0=0, a_n=R_n^{(b)}</math>이라 하면, 단위 반복 수의 정의에 따라 <math>a_n-a_{n-1}=R_n^{(b)}-R_{n-1}^{(b)}=b^n (n \geq 1)</math>이다. 그러면 <math>a_n-a_{n-1}=b(a_{n-1}-a_{n-2})</math>이고, 정리하면 <math>a_n=(b+1)a_{n-1}-ba_{n-2} (n \geq 1)</math>이다. <math>a_0=0, a_1=1</math>이므로 주어진 수열은 제1종 뤼카 수열이다. * <math>\gcd(R_m^{(b)}, R_n^{(b)})=R_{\gcd(m, n)}^{(b)}</math> * <math>R_n^{(b)}</math>가 소수이면 <math>n</math>도 소수이다. ** '''증명''': <math>n</math>이 소수가 아니라면 <math>n=uv, 1< u, v < n</math>인 약수가 존재한다. <math>(b-1)R_{uv}^{(b)}=b^{uv}-1</math>에서 <math>b^u-1=c</math>라 하면 <math>c \mid (b-1)R_{uv}^{(b)}, 1<c<R_{uv}^{(n)}</math>이다. 이때 <math>c \nmid b-1</math>이므로 <math>c \mid R_n^{(b)}</math>, 즉 주어진 수는 소수가 아님을 알 수 있다. * <math>n</math>이 홀수이고 <math>R_n^{(b)}</math>의 약수 <math>q</math>가 있다면 <math>b</math>는 법 <math>q</math>에 대한 [[이차잉여]]이다. ** '''증명''': <math>q \mid R_n^{(b)}</math>는 합동식인 <math>b^n \equiv 1 \pmod q</math>와 같이 쓸 수 있다. 양 변에 <math>b</math>를 곱하면 <math>(b^{\frac{n+1}{2}})^2 \equiv b \pmod q</math>이다. 좌변은 자연수의 제곱 꼴로 써지므로, 이차잉여의 정의에 따라 진술은 참이다. ** '''예''': 삼진법 단위 반복 수에서는 <math>\left(\frac{3}{q} \right)=1</math>이므로 <math>q \equiv \pm 1 \pmod{12}</math>이다. * <math>p</math>가 홀수 소수일 때, <math>R_p^{(b)}</math>의 소인수 <math>q</math>는 <math>q=2kp+1 (k \in \mathbb{N})</math>의 꼴로 표현되거나 <math>b-1</math>의 약수이다. ** '''증명''': <math>q \mid R_p^{(b)}</math>이면 <math>\gcd(b, q)=1</math>이다. 해당 조건은 <math>q \mid b^p-1</math>로 쓸 수 있다. <math>q</math>가 소수일 때, [[페르마의 소정리]]에 의해 <math>b^{q-1} \equiv 1 \pmod q</math>이다. 즉 <math>q \mid \gcd(b^p-1, b^{q-1}-1)=b^{\gcd(p, q-1)}-1</math>이다. <math>p</math>가 소수라는 가정으로 <math>\gcd(p, q-1)</math>은 1과 <math>p</math> 둘 중 하나이다. 전자의 경우 <math>q \mid b-1</math>이고, 후자는 <math>p \mid q-1</math>을 의미한다. 따라서 <math>q=mp+1</math>의 꼴로 써지며, 여기서 <math>m</math>은 짝수이므로 진술의 식과 같은 모양이 된다. * <math>b=c^r</math>을 만족하는 1보다 큰 자연수 <math>c, r</math>이 존재하면 <math>n > r</math>에서 <math>R_n^{(b)}</math>은 단위 반복 소수가 아니다. ** '''증명''': <math>R_n^{(b)}=\frac{b^n-1}{b-1}=\frac{c^{rn}-1}{c^r-1}</math>에서 <math>c^n-1 \mid c^{rn}-1=(c^r-1)R_n^{(b)}</math>이므로 <math>s \mid R_n^{(b)}, s=\frac{c^n-1}{\gcd(c^n-1, c^r-1)}<R_n^{(b)}</math>이다. 이때 <math>n>r \Rightarrow n \nmid r</math>이므로 <math>\gcd(n, r)<n,\ \gcd(c^n-1, c^r-1)<c^n-1</math>이다. 그러므로 <math>s>1</math>을 이끌어내고, <math>R_n^{(b)}</math> 내에서는 비자명한 약수가 존재함을 알 수 있다. ** '''예''': 사진법에서는 <math>R_2^{(4)}=5</math>, 팔진법에서는 <math>R_3^{(8)}=73</math>으로 단위 반복 소수가 각각 하나뿐이다. 아울러 구진법에서는 소수가 전혀 없다. == 알려진 소수와 빈도 == 아래 목록은 정해진 <math>b</math>에 대해 <math>R_n^{(b)}</math>가 소수인 2022년 8월 28일까지 알려진 <math>n</math>의 목록을 나열한 것이다. ''기울임체'' 표시는 확정된 소수가 아닌 [[유력 소수]]이다. (유력 소수 여부는 각 [[OEIS]] 링크의 문서에서 Extension 문단에 적혀 있다) * [[이진법]]([[메르센 소수]]): 소수 51개 {{OEIS|A000043}} ** 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127, 521, 607, 1279, 2203, 2281, 3217, 4253, 4423, 9689, 9941, 11213, 19937, 21701, 23209, 44497, 86243, 110503, 132049, 216091, 756839, 859433, 1257787, 1398269, 2976221, 3021377, 6972593, 13466917, 20996011, 24036583, 25964951, 30402457, 32582657, 37156667, 42643801, 43112609, 57885161, 74207281, 77232917, 82589933 * [[삼진법]]: 소수 16개, 유력 소수 5개 {{OEIS|A028491}} ** 3, 7, 13, 71, 103, 541, 1091, 1367, 1627, 4177, 9011, 9551, 36913, 43063, 49681, 57917, ''483611, 877843, 2215303, 2704981, 3598867'' * [[오진법]]: 소수 15개, 유력 소수 4개 {{OEIS|A004061}} ** 3, 7, 11, 13, 47, 127, 149, 181, 619, 929, 3407, 10949, 13241, 13873, 16519, ''201359, 396413, 1888279, 3300593'' * [[육진법]]: 소수 13개, 유력 소수 3개 {{OEIS|A004062}} ** 2, 3, 7, 29, 71, 127, 271, 509, 1049, 6389, 6883, 10613, 19889, ''79987, 608099, 1365019'' * 칠진법: 소수 6개, 유력 소수 4개 {{OEIS|A004062}} ** 5, 13, 131, 149, 1699, 14221, ''35201, 126037, 371669, 1264699'' * [[십진법]]: 소수 6개, 유력 소수 5개 {{OEIS|A004023}} ** 2, 19, 23, 317, 1031, 49081, ''86453, 109297, 270343, 5794777, 8177207'' 이진법의 경우 메르센 수의 소수 여부를 결정하는 [[뤼카-레머 소수판정법]]으로 확실한 소수를 천만 자리 범위에서도 비교적 쉽게 찾을 수 있다. 하지만 다른 진법에서는 이에 상응하는 빠른 소수판정법이 현재로서는 없고, 연산량이 많은 [[타원곡선 소수판정법]]을 주로 이용한다. <math>n>3 \times 10^4</math> 범위에서는 소수 여부를 가려내기 매우 힘들기에 현재 대부분 유력 소수 상태에 머물러 있다. 단위 반복 소수에 관한 추측으로 두 가지가 있다. 단, <math>b</math>가 특정 자연수의 거듭제곱이 아니라는 전제를 한다. # 각 진법에서 소수의 개수는 무한하다. # <math>1<n<N</math> 범위 내에서 <math>b</math>가 클수록 소수 <math>R_n^{(b)}</math>의 개수는 적어진다. (즉 소수의 빈도가 내려간다) {{각주}} {{소수}} [[분류:정수론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:OEIS (편집) 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:소수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)