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(이는 <math>(L, \varphi)</math>과 <math>(N, \psi)</math>이 cone임에서 나온다.) <div align=center>[[파일:Commutative Diagram for Categorical Limit.png|230px|Commutative diagram for Categorical Limit]]</div> 기존의 극한 개념으로 봤을 때 참으로 뜬금없는 정의인데, 왜 이름은 극한인 것인가? 그리고 이 개념을 정의한 이유는 무엇인가? 이는 [[#예시|많은 수의 범주론적 개념]]이 극한으로 일반화되기 때문이며, 범주론에서 가장 중요한 성질인 [[보편 성질]]을 capture하기 때문이다. 그리고 신기하게도, 이는 [[#해석학과 위상수학의 극한과의 관계|위상수학적 극한을 일반화한다]]. == 자연 동형을 이용한 정의 == 이를 자연 동형(natural isomorphism)의 언어로 나타낼 수도 있다. 먼저, '''뿔'''이란 꼭짓점에서 다이어그램으로 가는 자연 변환이라고 볼 수 있다. <math>J</math>-형의 <math>\mathcal C</math>의 다이어그램 <math>F : \; J \to \mathcal C</math>에 대하여, 꼭짓점 <math>V</math>에서 내린 뿔은 [[자연 변환]] <math>\psi: \; \Delta_ V \to F</math>이다. 이때, <math>\Delta_V</math>는 <math>J</math>-형의 terminal category <math>V </math>⟲<math> 1_V</math>의 다이어그램이다. 이제 위의 자연 동형의 언어로 쓰여진 뿔을 이용하여 극한 역시 자연 동형으로 기술할 수 있다. 즉 다이어그램 <math>F</math>의 '''극한'''은 보편 성질을 만족하는 자연 변환 <math>\varphi: \; \Delta_L \to F</math>을 말한다. == 예시 == * [[끝 대상]]: <math>J = \mathbf 0</math>가 empty category일 때, <math>\mathbf 0</math>-형의 <math>\mathcal C</math>의 다이어그램은 자명하게 유일하며 이의 극한은 다름아닌 <math>\mathcal C</math>의 '''terminal object''' <math>1</math>이다. * [[곱 (범주론)|곱]]: <math>J</math>가 discrete category일 때, 다이어그램 <math>F: \; J \to \mathcal C</math>는 <math>\{X_\alpha \in \operatorname{ob} \mathcal C: \; \alpha \in J \}</math>와 같은 의미를 가지게 된다. 이때, 극한의 함수족 <math>\varphi_\bullet</math>이 projection mapping의 역할을 하게 되어 주어진 다이어그램의 극한은 '''범주론적 곱'''이 된다. ** 멱범주: <math>F</math>가 같은 것 <math>X</math>만 가리키는 함자이면, 즉 상수 다이어그램이면, 그 극한은 같은 대상을 여러 번 곱하는 것이므로 '''멱범주''' <math>X^J</math>가 된다. * 이퀄라이저 (커널): 만약 <math>J= \{ \bullet\rightrightarrows \bullet \}</math>이면 다이어그램은 평행한(domain과 codomain이 같은) 두 morphism의 쌍을 나타낸다. 이때 그 극한은 두 morphism의 '''equalizer'''가 된다. * [[당김]]: <math>J= \{ \bullet\rightarrow \bullet \leftarrow \bullet \}</math>이고 <math>F</math>가 왼쪽의 <math>\bullet</math>들을 <math>X, Z, Y \in \operatorname{ob}\mathcal C</math>의 순서로 지정하는 다이어그램이라고 하자. 이때 <math>F</math>의 극한은 '''당김'''(pullback, '''fibre product'''라고도 부름)이 된다. <!--이는 아래의 [[가환 그림]]에서도 알 수 있다. [[추가바람]]--> * [[역극한]]: <math>J</math>를 [[반순서집합]]이라고 하고 이것을 범주로 간주하자. (반순서집합은 <math>x \le y</math>일 때 <math>x \to y</math>의 morphism을 만드는 방식으로 범주로 생각할 수 있다.) 이때 다이어그램 <math>F:\; J^{\mathrm{op}} \to \mathcal C </math>을 생각하면, (<math>J \to \mathcal C </math>의 ''반변'' 함자인 <math>F</math>에 대하여) <math>F</math>의 극한을 '''역극한'''이라고 한다. * <math>J = \mathbf 1 = \{ \bullet </math>⟲<math> 1_\bullet \}</math>이면, 다이어그램은 단지 <math> \mathcal C </math>의 한 object <math>X</math>를 가리키는 함자가 된다. 따라서 vertex <math>N</math>의 뿔은 <math>N \to X=F(\bullet)</math>의 morphism과 같고, 이 morphism이 isomorphism일 때에만 주어진 뿔이 극한이 됨을 알 수 있다. 일반적으로 <math>J</math>가 initial object<math>0</math>을 가지는 범주이면, 임의의 다이어그램 <math>F</math>는 '<math>F(0)</math>과 isomorphic한 대상'이라는 극한을 가진다. == 성질 == [[추가바람]] == 해석학과 위상수학의 극한과의 관계 == [[위상공간]] <math>(X,\mathcal T)</math>이 주어져 있다고 하자. <math>\mathcal F(X)</math>를 X의 [[필터 (수학)|필터]]들의 ⊆-[[반순서집합]]이라고 하고, [[작은 범주]]로 간주하자. <math>x\in X</math>와 <math>F\in\mathcal F(X)</math>가 주어져 있을 때 <math>\mathcal U_X(x)</math>를 <math>x</math>의 [[근방 필터]](근방들을 모두 모아 놓은 필터)라고 하고, <math>\mathcal F_{x,F} (X)</math>를 : <math>\{G\in\mathcal F(X):\; F\cup\mathcal U_X(x)\subseteq G\}</math> 가 생성하는 <math>\mathcal F(X)</math>의 충만한 [[부분범주]]([[포함 함자]]가 [[충만한 함자|충만한]] 부분범주)라고 하자. <math>E:\mathcal F_{x,F}\hookrightarrow\mathcal F(X)</math>는 자명한 [[충실한 함자|충실한]] 다이어그램이고, <math>\Delta</math>는 [[대각 함자]]이며 <math>\lambda:\; \Delta(F)\Rightarrow E</math>는 <math>G\in\mathcal F_{x,F}</math>에 대하여 <math>\lambda(G):\; F\hookrightarrow G</math>가 포함 함자가 되게 하는 자연 변환이다. 그러면 <math>F</math>가 <math>(X, \mathcal T)</math>에서 <math>x</math>로 수렴(필터가 주어진 점의 근방 필터를 부분 집합으로 포함)하는 것과 자연 변환 <math>\lambda</math>가 다이어그램 <math>E</math>의 극한인 것이 동치이다. <ref>[http://mathoverflow.net/questions/9951/limits-in-category-theory-and-analysis/9962]</ref> 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț