로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요!'''과잉수'''(Abundant number) 또는 '''풍족수'''는 자기 자신을 제외한 약수의 합이 원래 수보다 큰 수를 말한다. 가장 작은 과잉수들은 다음과 같다. * 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, … {{OEIS|A005101}} 아래 수열은 과잉수를 진약수로 가지지 않는 과잉수들이다. 즉 아래 목록에서 자연수 배를 하면 위 목록을 얻는다. * 12, 18, 20, 30, 42, 56, 66, 70, 78, 88, 102, 104, 114, 138, 174, 186, 196, … {{OEIS|A091191}} == 수식 표현 == <math>n=\prod p_k^{e_k}</math>과 같이 소인수분해 될 때, 정의는 아래와 같이 쓸 수 있다. <math>\sigma(n)</math>은 [[약수함수]]이다. * <math>\sigma(n)>2n</math>: 자기 자신을 포함한 약수의 합이 원래 수의 두 배보다 크다. * <math>\frac{\sigma(n)}{n}=\sigma_{-1}(n)=\sum_{m \mid n}\frac{1}{m}=\prod \sum_{i=0}^{e_k}p_k^{-i}=\prod \frac{1-p_k^{-(e_k+1)}}{1-p_k^{-1}}>2</math> == 과잉수의 예 == * 가장 작은 과잉수는 12이다. * 과잉수는 소인수가 최소 둘 이상이다. ** '''증명''': 위 수식 표현 중 <math>\sigma_{-1}(n)=\prod \frac{1-p_k^{-(e_k+1)}}{1-p_k^{-1}}</math>을 불러온다. 우변에서 각 항은 <math>p_k \geq 2, \frac{1-p^{-(e+1)}}{1-p}<\frac{1}{1-p} \leq 2</math>이다. 그러므로 소인수가 하나뿐이면 우변에서 곤해지는 항도 하나이므로, <math>\sigma_{-1}(n)<2</math>로 과잉수가 될 수 없다. 아울러 12, 18, 20 등은 소인수가 둘인 과잉수이므로, 주어진 진술은 참이다. * 어떤 수가 과잉수이거나 [[완전수]]이면 그 수의 배수도 과잉수이다. ** '''증명''': <math>n=\prod p_k^{e_k}, n'=\prod p_k^{d_k}, n \mid n'</math>이라 할 때, 각 소인수에 대해 <math>d_k \geq e_k, \frac{1-p^{-(d_k+1)}}{1-p^{-1}} \geq \frac{1-p^{-(e_k+1)}}{1-p^{-1}}</math>이므로 <math>\sigma_{-1}(n') \geq \sigma_{-1}(n) \geq 2</math>이다. 특히 <math>n'>n</math>이면 <math>\sigma_{-1}(n')>2</math>임을 알 수 있다. * 홀수 과잉수는 소인수가 최소 셋 이상이다. 가장 작은 값은 <math>945=3^3 \cdot 5 \cdot 7</math>이다. ** 소인수가 둘 뿐인 홀수는 <math>n=p^d q^e, p \geq 3, q \geq 5</math> 꼴이다. 둘째 항목과 같은 방법으로 <math>\sigma_{-1}(n)<\frac{15}{8}<2</math>를 이끌어내며, 이에 따라 소인수가 둘인 홀수는 과잉수가 될 수 없다. * 6과 서로소인 과잉수는 소인수가 최소 7개 이상이다. ** 가장 작은 경우는 <math>5391411025=5^2 \cdot 7 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23 \cdot 29</math>이다. ** 소인수가 7가지인 최소 과잉수는 <math>357878145625=5^4 \cdot 7^2 \cdot 11^2 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19 \cdot 23</math>이다. * 그 밖에 특정 소수 이하의 모든 수들과 서로소인 과잉수, 즉 <math>p\text{#}</math>와 서로소인 경우는 [http://oeis.org/wiki/Odd_abundant_numbers 여기]서 알아볼 수 있다. == 원시 과잉수 == 원시 과잉수(Primitive abundant number)는 다른 과잉수나 완전수의 배수로 표현되지 않는 과잉수를 말한다. 즉 원시 과잉수의 진약수들은 전부 [[부족수]]이다. 앞서 서술한 과잉수의 성질 중 "완전수나 과잉수의 배수는 모두 과잉수"라는 진술에 따른 것으로, 배수를 이용해 다른 과잉수들을 생성하는 뿌리가 된다는 의미로 '원시'라는 접두어가 붙었다. 단, 완전수 자체는 원시 과잉수에 포함되지 않는다. 아래는 1000 이하의 완전수 및 원시 과잉수들을 나타낸 것이다. 완전수는 괄호 표시를 함. 즉 1000 이하의 모든 과잉수는 아래 수들의 배수로 생성할 수 있다. * (6), 20, (28), 70, 88, 104, 272, 304, 368, 464, (496), 550, 572, 650, 748, 836, 945 * 더 많은 원시 과잉수들은 {{OEIS|A071395}} 참고. == 같이 보기 == * [[완전수]] * [[부족수]] * [[곱완전수]] * [[준완전수]] * [[반완전수]] {{각주}} {{수}} [[분류:수]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:OEIS (편집) 틀:Skin (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:둘러보기 상자 (원본 보기) (보호됨)틀:둘러보기 상자/핵심 (원본 보기) (보호됨)틀:수 (편집) 틀:틀바 (원본 보기) (준보호됨)