로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 정의 == [[파일:Box-308680 640.png|섬네일|200px|공집합은 아무것도 들어 있지 않은 빈 상자에 비유할 수 있다.]] 원소를 가지지 않는 [[집합]]을 '''공집합(empty set)'''이라고 한다. <math>\{\}</math>, ∅, 또는 <math>\emptyset</math>으로 나타낸다. ∅와 <math>\emptyset</math> 기호는 [[1939년]] 수학자 집단인 [[니콜라 부르바키]]가 처음 사용했다고 알려져 있다.<ref>[http://jeff560.tripod.com/set.html Earliest Uses of Symbols of Set Theory and Logic]. [[2015년]] [[6월 11일]]에 확인.</ref> == 예시 == * 방정식 <math>x^2+1=0</math>의 실근의 집합 * <math>\{(x,y,z)\vert x^n+y^n=z^n,x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},n\ge 3\}</math> ([[페르마의 마지막 정리]]) == 존재성과 유일성 == [[체르멜로-프렝켈 집합론]]에서는 '''존재공리(The axiom of existence)'''<ref>'''공집합 공리(The axiom of empty set)'''라고도 한다.</ref> : <math>\exists x \forall y[\neg(y\in x)]</math> 에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality) : <math>\forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q]</math> 에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다. ''A''와 ''B''를 공집합이라고 가정하자. 그러면 ''A''의 임의의 원소는 ''B''의 원소이며, 마찬가지로 ''B''의 임의의 원소는 ''A''의 원소임을 안다. (뭐?)<ref>실제로는 공진(vacuously true)인 문장이기 때문이다.</ref> 따라서 확장공리에 의해 ''A''=''B''이다. {| class="wikitable" width="100%" |+ 공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명 ! 번호 ! 식 ! 정당화 |- | 1 | <math>\forall y[\neg(y\in A)]</math> | 가설: ''A''는 공집합. |- | 2 | <math>\forall y[\neg(y\in B)]</math> | 가설: ''B''는 공집합. |- | 3 | <math>\forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q]</math> | 확장공리 |- | 4 | <math>\neg(a\in A)</math> | (1)에서 Universal instantiation |- | 5 | <math>\neg(a\in B)</math> | (2)에서 Universal instantiation |- | 6 | <math>a\in A\Rightarrow a\in B</math> | (4)에서 Negation introduction |- | 7 | <math>a\in B\Rightarrow a\in A</math> | (5)에서 Negation introduction |- | 8 | <math>a\in A\Leftrightarrow a\in B</math> | (6)과 (7)에서 Biconditional introduction |- | 9 | <math>\forall x[(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)]</math> | (8)에서 Universal generalization |- | 10 | <math>\forall x[(x\in A\Leftrightarrow x\in B)]\Rightarrow A=B</math> | (3)에서 Universal instantiation |- | 11 | <math>A=B</math> | (9)와 (10)에서 Modus ponens |} == 자연수의 집합론적인 구성 == 공집합은 유일하다는 성질로 인해 [[자연수]]를 구성하는 데 사용되기도 한다. 예를 들어, : <math>\begin{align} 0&=\emptyset\\ 1&=\{\emptyset\}\\ 2&=\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\\ 3&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\\ 4&=\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\},\{\emptyset,\{\emptyset\},\{\emptyset,\{\emptyset\}\}\}\}\\ &\cdots \end{align}</math> 로 정의한다. 그러면 : <math>\begin{align} 1&=0\cup \{0\}\\ 2&=1\cup \{1\}\\ 3&=2\cup \{2\}\\ 4&=3\cup \{3\}\\ &\cdots \end{align}</math> 이므로, ''x''의 계승자(successor) <math>x+1</math>을<ref>이때 + 기호는 절대 덧셈을 뜻하는 것이 아니다! 자연수의 덧셈을 정의하기 전까지는...</ref> : <math>x+1=x\cup \{x\}</math> 로 정의하자.{{ㅊ|자연수의 자리를 계승하는 중입니다.}} 집합 ''I''가 다음 조건 * <math>0\in I</math> * <math>x\in I</math>이면 <math>x+1\in I</math>이다. 을 만족하면 ''I''를 귀납적 집합(Inductive set)이라고 한다.<ref>귀납적 집합의 존재성을 보장하기 위해서는 무한공리(The axiom of infinity)가 필요하다. 자세한 사항은 [[체르멜로-프렝켈 집합론]]을 참고하라.</ref> 그리고 임의의 귀납적 집합의 원소인 원소들의 집합을 자연수의 집합 <math>\mathbb{N}</math>이라고 하고, 자연수의 집합의 원소를 자연수라고 한다. == 성질 == 임의의 집합 ''A''에 대해, * 공집합은 ''A''의 부분집합이다. *: <math>\emptyset\subseteq A</math> * ''A''가 공집합의 부분집합이면 ''A''는 공집합이다. *: <math>A\subseteq \emptyset \Rightarrow A=\emptyset</math> * 공집합과 ''A''의 합집합은 ''A''이다. *: <math>\emptyset \cup A = A</math> * 공집합과 ''A''의 교집합은 공집합이다. *: <math>\emptyset \cap A = \emptyset</math> * 공집합과 ''A''의 곱집합은 공집합이다. *: <math>\emptyset \times A=\emptyset</math> <math>\bigcap \emptyset</math>는 존재하지 않는다. 만약 존재한다면, 다음 명제가 성립한다. : <math>x\in \bigcap \emptyset \Leftrightarrow \forall A[A\in \emptyset\Rightarrow x\in A]</math> 그러면 <math>\forall A[A\in \emptyset\Rightarrow x\in A]</math>는 공진명제이므로 결국 임의의 ''x''에 대해 <math>x\in \bigcap\emptyset</math>이다. 따라서 <math>\bigcap\emptyset</math>가 ''모든 집합의 집합''이 되므로 모순이다. == 같이 보기 == {{각주}} [[분류:집합론]] 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:ㅊ (원본 보기) (준보호됨)틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:취소선 (원본 보기) (준보호됨)