고유값과 고유벡터

정의

체 F 위의 벡터공간 V가 주어지고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 선형연산자 [math]\displaystyle{ L:V\to V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v} }[/math]

인 스칼라 λ가 존재하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]를 L의 고유벡터(Eigenvector)라고 하고, λ를 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.

선형연산자 L을 나타내는 행렬을 A라고 하자. 그러면 방정식은

[math]\displaystyle{ A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} }[/math]

가 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ (A-\lambda I)\mathbf{v}=O }[/math]

이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로

[math]\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0 }[/math]

이다.

x를 체 F의 원소라고 하자. [math]\displaystyle{ A-xI }[/math]를 A의 특성행렬(characteristic matrix), [math]\displaystyle{ \det(A-xI) }[/math]를 A의 특성다항식(characteristic polynomial), 방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]을 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 A의 스펙트럼(spectrum)이라 한다.

예시

선형연산자 L을 나타내는 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 8 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} }[/math]

그러면 A의 특성다항식은

[math]\displaystyle{ \det(A-xI)=\begin{vmatrix} 8-x & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2-x & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8-x & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2-x \end{vmatrix}=x^4-8x^2+16 }[/math]

이므로 특성방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]를 만족하는 x는 [math]\displaystyle{ x=\pm 2 }[/math]이다. 따라서 A의 고유값은 2와 -2이다. 한편

[math]\displaystyle{ A-2I=\begin{bmatrix} 6 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -4 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -10 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

[math]\displaystyle{ A+2I=\begin{bmatrix} 10 & 5 & 6 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -6 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 4 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ A-2I,A+2I }[/math]는 각각

[math]\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{bmatrix},\;\begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & 0 & 12\\ 0 & 0 & 1 & -20\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} }[/math]

이므로 각 방정식의 해, 즉 고유벡터는 [math]\displaystyle{ (A-2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=c\begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} }[/math]

이고 [math]\displaystyle{ (A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0} }[/math]의 경우

[math]\displaystyle{ \mathbf{x}=\begin{bmatrix} -\frac{1}{2}a-12b\\ a\\ 20b\\ b \end{bmatrix} }[/math]

이다.