고유값과 고유벡터

정의

벡터공간 V가 주어지고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 선형사상 [math]\displaystyle{ L:V\to V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v} }[/math]

인 스칼라 λ가 존재하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]를 L의 고유벡터(Eigenvector)라고 하고, λ를 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.

선형사상 L을 나타내는 행렬을 A라고 하자. 그러면 방정식은

[math]\displaystyle{ A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} }[/math]

가 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ (A-\lambda I)\mathbf{v}=O }[/math]

이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로

[math]\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0 }[/math]

이다.