고유값과 고유벡터: 두 판 사이의 차이

2015년 6월 1일 (월) 23:11 판

정의

체 F 위의 벡터공간 V가 주어지고 [math]\displaystyle{ \mathbf{v}\in V }[/math]를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. 선형연산자 [math]\displaystyle{ L:V\to V }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v} }[/math]

인 스칼라 λ가 존재하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{v} }[/math]를 L의 고유벡터(Eigenvector)라고 하고, λ를 고유값(Eigenvalue)이라고 한다.

선형연산자 L을 나타내는 행렬을 A라고 하자. 그러면 방정식은

[math]\displaystyle{ A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v} }[/math]

가 된다. 즉,

[math]\displaystyle{ (A-\lambda I)\mathbf{v}=O }[/math]

이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로

[math]\displaystyle{ \det(A-\lambda I)=0 }[/math]

이다.

x를 체 F의 원소라고 하자. [math]\displaystyle{ A-xI }[/math]를 A의 특성행렬(characteristic matrix), [math]\displaystyle{ \det(A-xI) }[/math]를 A의 특성다항식(characteristic polynomial), 방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]을 A의 특성방정식(characteristic equation)이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 A의 스펙트럼(spectrum)이라 한다.

예시

선형연산자 L을 만족하는 행렬 A가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

[math]\displaystyle{ A=\begin{bmatrix} 8 & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2 & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8 & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2 \end{bmatrix} }[/math]

그러면 A의 특성다항식은

[math]\displaystyle{ \det(A-xI)=\begin{vmatrix} 8-x & 5 & 6 & 0\\ 0 & -2-x & 0 & 0\\ -10 & -5 & -8-x & 0\\ 2 & 1 & 1 & 2-x \end{vmatrix}=x^4-8x^2+16 }[/math]

이므로 특성방정식 [math]\displaystyle{ \det(A-xI)=0 }[/math]를 만족하는 x는 [math]\displaystyle{ x=\pm 2 }[/math]이다. 따라서 A의 고유값은 2와 -2이다.

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 {{토막글}}
 == 정의 ==
-[[벡터공간]] ''V''가 주어지고 <math>\mathbf{v}\in V</math>를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. [[선형사상]] <math>L:V\to V</math>에 대해
+[[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 [[벡터공간]] ''V''가 주어지고 <math>\mathbf{v}\in V</math>를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. [[선형사상|선형연산자]] <math>L:V\to V</math>에 대해
 : <math>L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}</math>
 인 [[스칼라]] λ가 존재하면 <math>\mathbf{v}</math>를 ''L''의 '''고유벡터(Eigenvector)'''라고 하고, λ를 '''고유값(Eigenvalue)'''이라고 한다.
-선형사상 ''L''을 나타내는 [[행렬 (수학)|행렬]]을 ''A''라고 하자. 그러면 [[방정식]]은
+선형연산자 ''L''을 나타내는 [[행렬 (수학)|행렬]]을 ''A''라고 하자. 그러면 [[방정식]]은
 : <math>A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}</math>
 가 된다. 즉,
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 : <math>\det(A-\lambda I)=0</math>
 이다.
+''x''를 체 ''F''의 원소라고 하자. <math>A-xI</math>를 ''A''의 '''특성행렬(characteristic matrix)''', <math>\det(A-xI)</math>를 ''A''의 '''특성다항식(characteristic polynomial)''', 방정식 <math>\det(A-xI)=0</math>을 ''A''의 '''특성방정식(characteristic equation)'''이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 ''A''의 '''스펙트럼(spectrum)'''이라 한다.
+== 예시 ==
+선형연산자 ''L''을 만족하는 행렬 ''A''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
+: <math>A=\begin{bmatrix}
+& 5 & 6 & 0\\
+& -2 & 0 & 0\\
+-10 & -5 & -8 & 0\\
+& 1 & 1 & 2
+\end{bmatrix}</math>
+그러면 ''A''의 특성다항식은
+: <math>\det(A-xI)=\begin{vmatrix}
+-x & 5 & 6 & 0\\
+& -2-x & 0 & 0\\
+-10 & -5 & -8-x & 0\\
+& 1 & 1 & 2-x
+\end{vmatrix}=x^4-8x^2+16</math>
+이므로 특성방정식 <math>\det(A-xI)=0</math>를 만족하는 ''x''는 <math>x=\pm 2</math>이다. 따라서 ''A''의 고유값은 2와 -2이다.
 [[분류:선형대수학]]