고유값과 고유벡터 편집하기



== 정의 ==
[[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 [[벡터공간]] ''V''가 주어지고 <math>\mathbf{v}\in V</math>를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. [[선형사상|선형연산자]] <math>L:V\to V</math>에 대해
: <math>L(\mathbf{v})=\lambda \mathbf{v}</math>
인 [[스칼라]] λ가 존재하면 <math>\mathbf{v}</math>를 ''L''의 '''고유벡터(Eigenvector)'''라고 하고, λ를 '''고유값(Eigenvalue)'''이라고 한다.

선형연산자 ''L''을 나타내는 [[행렬]]을 ''A''라고 하자. 그러면 [[방정식]]은
: <math>A\mathbf{v}=\lambda \mathbf{v}</math>
가 된다. 즉,
: <math>(A-\lambda I)\mathbf{v}=O</math>
이고 이 방정식이 영이 아닌 근을 가지므로
: <math>\det(A-\lambda I)=0</math>
이다.

''x''를 체 ''F''의 원소라고 하자. <math>A-xI</math>를 ''A''의 '''특성행렬(characteristic matrix)''', <math>\det(A-xI)</math>를 ''A''의 '''특성다항식(characteristic polynomial)''', 방정식 <math>\det(A-xI)=0</math>을 ''A''의 '''특성방정식(characteristic equation)'''이라고 한다. 특성방정식의 근의 집합은 ''A''의 '''스펙트럼(spectrum)'''이라 한다.

== 고유값의 존재성 ==
선형연산자 <math>T:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2</math>가 다음과 같이 정의되었다고 하자.
: <math>T(x,y)=(x-y,x+y)</math>
이때 <math>T</math>의 고윳값이 존재한다고 가정하고 <math>\lambda</math>로 쓰자. 그러면
: <math>(x-y,x+y)=(\lambda x,\lambda y)</math>
이고 따라서 <math>(1-\lambda)x=y,(1-\lambda)y=-x</math>이다. <math>\lambda=1</math>이면 <math>x=y=0</math>이 되므로 불가능하다. 따라서 <math>\lambda\ne 1</math>이다. 그러면
: <math>x= -(1-\lambda)y=-(1-\lambda)^2 x</math>
이므로
: <math>(1+(1-\lambda)^2)x=0</math>
이다. 따라서 <math>T</math>의 고유값은 존재하지 않는다. 그러나 <math>\mathbb{R}</math>을 <math>\mathbb{C}</math>로 바꾸면 <math>T</math>의 고유값은 <math>\lambda_1=1+i</math>, <math>\lambda_2=1-i</math>임을 알 수 있다.

일반적으로 선형연산자 <math>T:\mathbb{C}^n\to \mathbb{C}^n</math>의 고유값은 존재한다.<ref>{{서적 인용|제목=Linear Algebra Done Right|저자=Sheldon Axler|url=http://www.linear.axler.net/Eigenvalues.pdf|출판사=Springer|확인날짜=2016-05-14|판=3rd edition|isbn=0387982582|장=Chapter 5. Eigenvalues, Eigenvectors, and Invariant Subspaces}}</ref><ref>{{서적 인용|제목=A First Course in Linear Algebra|저자=Robert A. Beezer|url=http://linear.ups.edu/download/fcla-3.50-tablet.pdf|확인날짜=2016-05-14|판=Version 3.50|장=Chapter E. Eigenvalues}}</ref> <math>\mathbf{x}</math>를 영이 아닌 임의의 벡터라고 하자. [[집합]] <math>S</math>를
: <math>S=\{\mathbf{x},T\mathbf{x},T^2\mathbf{x},\cdots,T^n\mathbf{x}\}</math>
로 정의하면 <math>S</math>의 원소의 수는 <math>n+1</math>개이므로 <math>S</math>는 [[일차종속]]이다. 따라서
: <math>a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}=\mathbf{0}</math>
를 만족하는 <math>a_0,a_1,\cdots, a_n \in \mathbb{C}</math>가 존재한다. 이때 <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math> 중 하나는 반드시 영이 아닌데, <math>a_1,a_2,\cdots,a_n</math>이 모두 영이라면 <math>a_0 \mathbf{x}=0</math>이 되어 모순이기 때문이다. <math>a_i\ne 0</math>을 만족하는 <math>i\in \{0,1,\cdots, n\}</math> 중 가장 큰 값을 <math>m</math>이라 하자. [[다항식]] <math>p(x)</math>를
: <math>p(x)=a_0 + a_1 x + a_2 x^2 +\cdots + a_m x^m</math>
으로 정의하면, [[대수학의 기본 정리]]에 의해 <math>p(x)=c(x-\lambda_1)(x-\lambda_2)\cdots (x-\lambda_m)</math>인 <math>c,\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_m\in \mathbb{C}</math>가 존재한다. 따라서
: <math>\begin{align}
\mathbf{0}&=a_0 \mathbf{x}+a_1 T\mathbf{x}+ a_2 T^2\mathbf{x}+\cdots + a_n T^n \mathbf{x}\\
&=(a_0 + a_1 T +a_2 T^2 +\cdots + a_n T^n )\mathbf{x}\\
&=c(T-\lambda_1 I)(T-\lambda_2 I)\cdots (T-\lambda_m I)\mathbf{x}
\end{align}</math>
이고, 따라서 <math>T-\lambda_i I</math> 중 하나는 [[일대일 함수]]가 아니다. 따라서 <math>T</math>는 고유값을 가진다.

더욱이, [[대수적으로 닫힌 체]] <math>F</math> 위에서 정의된 임의의 [[자기준동형사상]] <math>T:F^n \to F^n</math>의 고유값은 존재한다.

== 예시 ==
선형연산자 ''L''을 나타내는 행렬 ''A''가 다음과 같이 주어졌다고 하자.
: <math>A=\begin{bmatrix}
8 & 5 & 6 & 0\\
0 & -2 & 0 & 0\\
-10 & -5 & -8 & 0\\
2 & 1 & 1 & 2
\end{bmatrix}</math>
그러면 ''A''의 특성다항식은
: <math>\det(A-xI)=\begin{vmatrix}
8-x & 5 & 6 & 0\\
0 & -2-x & 0 & 0\\
-10 & -5 & -8-x & 0\\
2 & 1 & 1 & 2-x
\end{vmatrix}=x^4-8x^2+16</math>
이므로 특성방정식 <math>\det(A-xI)=0</math>를 만족하는 ''x''는 <math>x=\pm 2</math>이다. 따라서 ''A''의 고유값은 2와 -2이다. 한편
: <math>A-2I=\begin{bmatrix}
6 & 5 & 6 & 0\\
0 & -4 & 0 & 0\\
-10 & -5 & -10 & 0\\
2 & 1 & 1 & 0
\end{bmatrix}</math>
: <math>A+2I=\begin{bmatrix}
10 & 5 & 6 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
-10 & -5 & -6 & 0\\
2 & 1 & 1 & 4
\end{bmatrix}</math>
이고 <math>A-2I,A+2I</math>는 각각
: <math>\begin{bmatrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0\\
\end{bmatrix},\;\begin{bmatrix}
1 & \frac{1}{2} & 0 & 12\\
0 & 0 & 1 & -20\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0 & 0
\end{bmatrix}</math>
이므로 각 방정식의 해, 즉 고유벡터는 <math>(A-2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>의 경우
: <math>\mathbf{x}=c\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix}</math>
이고 <math>(A+2I)\mathbf{x}=\mathbf{0}</math>의 경우
: <math>\mathbf{x}=\begin{bmatrix}
-\frac{1}{2}a-12b\\
a\\
20b\\
b
\end{bmatrix}=a\begin{bmatrix}-\frac{1}{2} \\ 1 \\ 0 \\ 0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}-12\\ 0 \\ 20 \\ 1\end{bmatrix}</math>
이다. 이때 고유벡터의 정의에 의해 <math>abc\ne 0</math>이다.

== 고유공간 ==
[[체 (수학)|체]] ''F'' 위의 벡터공간 ''V''에서 정의된 선형연산자 ''L''의 고윳값 λ가 주어졌을 때, 모든 고유벡터와 영벡터의 집합 <math>\mathbf{V}_\lambda</math>는 [[벡터공간]]을 이룬다. 왜냐 하면 임의의 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2\in\mathbf{V}_\lambda</math>와 <math>c\in F</math>에 대해
: <math>L(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)=L(\mathbf{v}_1)+L(\mathbf{v}_2)=\lambda\mathbf{v}_1+\lambda\mathbf{v}_2=\lambda(\mathbf{v}_1+\mathbf{v}_2)</math>
: <math>L(c\mathbf{v}_1)=cL(\mathbf{v}_1)=c\lambda \mathbf{v}_1=\lambda(c\mathbf{v}_1)</math>
이므로 ''V''의 부분공간(subspace)이기 때문이다. 이 벡터공간을 고윳값 λ이 연관된 ''L''의 고유공간(eigenspace)이라고 한다. <math>\mathbf{V}_\lambda</math>의 [[차원]](dimension)은 λ의 기하중복도(geometric multiplicity)라고 한다.

<math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>가 선형연산자 ''L''의 서로 다른 고유값이고, <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>가 <math>\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_r</math>와 연관된 고유벡터라고 하자. 이때 <math>\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_r</math>는 선형독립이다.

<math>\mathbf{v}_1\ne \mathbf{0}</math>이므로 <math>\{\mathbf{v}_1\}</math>은 [[선형독립]]인 집합이다. 이제 <math>1\le k\le r</math>인 정수 ''k''에 대해 <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\}</math>가 선형독립이라고 가정하자. 만약 <math>k=r</math>이면 증명이 끝나므로 <math>k< r</math>라고 가정하자. 방정식
: <math>c_1\mathbf{v}_1+c_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0}</math>
에서 ''L''에 의한 연산을 거치면
: <math>c_1\lambda_1\mathbf{v}_1+c_2\lambda_2\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0}</math>
이고 처음 식에 <math>\lambda_{k+1}</math>을 곱하면
: <math>c_1\lambda_{k+1}\mathbf{v}_1+c_2\lambda_{k+1}\mathbf{v}_2+\cdots+c_{k+1}\lambda_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0}</math>
이다. 그러면
: <math>c_1(\lambda_1-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_1+c_2(\lambda_2-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_2+\cdots+c_k(\lambda_k-\lambda_{k+1})\mathbf{v}_k=0</math>
이고 (귀납법) 가정에 의해 각 고유값이 다르고 <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_k\}</math>이 선형독립이므로
: <math>c_1=c_2=\cdots=c_k=0</math>
이다. 따라서
: <math>c_{k+1}\mathbf{v}_{k+1}=\mathbf{0}</math>
이고 <math>\mathbf{v}_{k+1}\ne\mathbf{0}</math>이므로 <math>c_{k+1}=0</math>이다. 따라서 <math>\{\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\cdots,\mathbf{v}_{k+1}\}</math>은 선형독립이다. 결국 수학적 귀납법에 의해 원하는 결론을 얻는다.

== 대각화 ==
{{참고|대각화}}
어떤 <math>n</math>차 정사각행렬 <math>A</math>가 대각화 가능할 필요충분조건은 <math>A</math>의 선형독립인 고유벡터가 <math>n</math>개 존재하는 것이다.
{{각주}}

[[분류:선형대수학]]