결합 기하학 편집하기

'''결합 기하학'''(Incidence Geometry)은 [[기하학]]의 [[공리]] 체계 중 하나이며, 매우 간단한 구조를 가지고 있다. 공리가 단 3개밖에 존재하지 않기 때문에 결합 기하학만으로는 뭘 제대로 증명할 수 없지만, 결합 기하학의 세 공리는 [[유클리드 기하학]]과 [[쌍곡 기하학]]의 토대가 되는 [[절대 기하학]]의 공리 체계에 포함되어 있기 때문에 매우 중요하다.

== 모델 ==
무정의 용어 중, 점은 집합의 원소와 비슷하게 생각한다. 즉, 결합 기하학을 전체 집합으로 본다면, 점은 그 전체 집합의 원소. 선은 전체 집합의 부분집합으로 생각할 수 있으며, 점을 원소로 갖는다. "선 위에 존재한다", 혹은 "선이 점을 지난다"라는 관계는 "선이라는 부분집합에 점이 원소로서 포함되어 있다"라고 해석할 수 있으며, "두 선이 교차한다"는 "두 선의 교집합이 공집합이 아니다"라고 해석할 수 있다. [[공선점]]은 "같은 부분집합에 모두 속한다"라고 해석하면 자연스럽다. 사실, 이러한 해석은 우리가 그림을 그렸을 때 직관적으로 이해하고 있는 기하학의 시스템을 [[집합론]]적으로 엄밀하게 정의한 것에 불과하다. 이제 결합 기하학 모델의 세 공리를 알아보자.

;공리 1 (I1)
임의의 서로 다른 두 점에 대해, 그 두 점을 지나는 '''유일한''' 선이 존재한다.
;공리 2 (I2)
임의의 선은 반드시 서로 다른 두 점을 지난다.
;공리 3 (I3)
[[공선점]]이 아닌 세 점이 존재한다.

== 예시 ==
=== 세 점 기하학 ===
{{참조|세 점 기하학}}
I3 때문에, 결합 기하학은 최소 3개의 점을 가지고 있어야만 한다. 그리고 실제로 점 3개만을 사용하여 결합 기하학의 [[모델 (기하학)|모델]]을 만들 수 있는데, 그게 바로 '''세 점 기하학(3 point Geometry)'''이다. 세 점 기하학의 구성은 다음과 같다.
*점: A, B, C
*선: {A, B}, {B, C}, {C, A}
이게 끝이다. 정말 간단하기 짝이 없다. 이 시스템이 결합 기하학의 모델인지 확인하기 위해서는 I1, I2, I3이 성립하는지 살펴보면 된다. 쉽게 확인할 수 있으므로 직접 해보자.

=== 파노 기하학 ===
{{참조|파노 기하학}}
위 [[세 점 기하학]]보다 조금 더 복잡해졌지만, 여전히 간단한 기하학. [[이탈리아]]의 수학자 지노 파노(Geno Fano)가 연구했기 때문에 '''파노 기하학(Fano's Geometry)'''이라 부른다. 파노 기하학의 구성은 다음과 같다.
*점: A, B, C, D, E, F, G
*선: {A, B, C}, {C, D, E}, {E, F, A}, {A, G, D}, {C, G, F}, {E, G, B}, {B, D, F}
역시 간단하게 이 시스템이 결합 기하학의 [[모델 (기하학)|모델]]임을 쉽게 확인할 수 있다.

=== 데카르트 평면 ===
가장 익숙할 기하학 체계. 점들의 집합은 <math>\left\{\left(x,y\right)|x,\,y\in\mathbb{R}\right\}</math>으로 우리가 알고 있는 그것과 동일하며, 선은 직선의 방정식을 생각하면 된다. I1, I2, I3이 성립함을 역시 쉽게 보일 수 있다.

=== 클라인 디스크 ===
벨트라미-클라인 모델(Beltrami–Klein model)이라고도 부른다. 데카르트 평면과 다 똑같지만, 영역이 [[원 (도형)|원]]으로 제한되었다. 클라인 디스크는 영역이 <math>\left\{\left(x,y\right)|x^2+y^2<1\right\}</math>인 경우를 부르는 특수한 경우. 데카르트 평면에서 영역을 제한한 것이기 뿐이기 때문에 I1, I2, I3이 당연히 성립한다. 클라인 디스크가 중요한 이유는, 주어진 한 선에 [[평행]]하고, 선 밖에 있는 주어진 한 점을 지나는 선이 '''무수히 많기''' 때문. 여기서 평행이란, 우리가 흔히 생각하는 그런 평행이 아니라, 교집합이 공집합인 두 선을 뜻한다.

=== 구면 기하학 ===
{{참조|구면 기하학}}
일단 결론부터 말하면, 구면 기하학은 결합 기하학이 '''아니다'''. 일단 (특수한 경우의) 구성을 살펴보자.
*점: <math>\mathbb{S}^2=\left\{\left(x,y,z\right)|x^2+y^2+z^2=1,\quad x,\,y,\,z\in\mathbb{R}\right\}</math>
*선: 두 점을 지나는 대원(great circle).
세 공리 중 어느 것을 만족시키지 못하는지 생각해 보자.
{{글 숨기기|제목=해설|1=
I1을 만족하지 못한다. 북극점과 남극점을 지나는 선이 유일하지 않고 무한하기 때문이다(모든 경도가 그러한 선이 된다).
}}

== 결합 기하학의 정리 ==
저 세 가지로 무슨 기하학 명제를 증명하냐 싶지만, 몇몇 (당연해 보이지만) 중요한 성질을 증명할 수 있다.

=== 두 선의 교점은 유일하다 ===
서로다른 두 선 <math>l,\,m</math>이 점 <math>P</math>에서 교차한다고 가정하자. 이제, <math>P'\neq P</math>인 점 <math>P'</math>가 존재하여, <math>P'\in l\cap m</math>이라 가정하자. 그럼 I1에 의해, 점 <math>P,\,P'</math>을 지나는 유일한 선이 존재한다. 그런데, <math>\left\{P,P'\right\}\subseteq l,\,m</math>이고, <math>l\neq m</math>이므로, 이는 I1의 유일성에 모순이다. 따라서 서로 다른 두 선의 교점은 (존재한다면) 유일하다.

=== 선 위에 존재하지 않는 점이 존재한다 ===
임의의 선이 하나 있다고 하자. 그럼, I2에 의해 선 위에 서로 다른 두 점이 존재한다. 만약, 이 선 밖에 점이 없다면, 모든 점은 이 선 위에 있게 되고, 이는 I3에 모순이다. 따라서, 임의의 선 밖에 적어도 하나의 점이 존재한다.

=== 한 선과 교차하는 서로 다른 두 선이 존재한다 ===
<math>l</math>이 주어진 한 선이라 가정하자. 그럼, I2에 의해 <math>l</math> 위에 서로 다른 두 점 <math>P,\,Q</math>가 존재한다. 또한, 바로 위 명제에 의해, <math>l</math> 밖에 점 <math>R</math>이 존재한다. 이제, I1에 의해 <math>P,\,R</math>을 지나는 선 <math>m</math>과 <math>Q,\,R</math>을 지나는 선 <math>n</math>이 존재한다. 그럼, <math>m,\,n</math>은 <math>l</math>과 분명히 교차하고, <math>l\neq m,\,l\neq n</math>이다. 더욱이, <math>m\neq n</math>인데, 만약 <math>m=n</math>일 경우, <math>R\in l</math>이고, 이는 <math>R</math>의 정의에 모순되기 때문이다.

== 확장 ==
{{참조|절대 기하학}}
전술했듯이, 결합 기하학은 너무 간단한 구조를 가지고 있기 때문에, 좀 더 복잡한 기하학적 사실을 증명하기 위해서는 다른 기하학이 필요하게 된다. 그렇다고 해서 평행선 공준을 바로 받아들이는 것은 아니고, 평행선 공준을 제외한 다른 공리·공준을 받아들여 [[유클리드 기하학]]과 [[비유클리드 기하학]]에서 모두 똑같이 쓸 수 있는 기하학을 중간 과정으로 쓰게 된다.

{{각주}}
[[분류:기하학]]