거듭제곱의 합

거듭제곱의 합(sum of powers, power sum)은 크게 두 가지로 나눌 수 있다: 지수가 변하는 것과 밑이 변하는 것.

지수가 변하는 거듭제곱의 합

가장 기본적인 형태는

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n x^i = \frac{x^{n+1}-1}{x-1} }[/math]

이다. 이를 미분하여 [math]\displaystyle{ x }[/math]를 곱하면 다음을 얻는다.

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n ix^i = \frac{x-(n+1)x^{n+1} + nx^{n+2}}{(x-1)^2}. }[/math]

비슷한 방법으로 어떤 양의 정수 [math]\displaystyle{ e_i \quad (i=0,\cdots,m) }[/math]에 대하여

[math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^{e_0}(k-1)^{e_1}\cdots (k-m)^{e_m}x^k }[/math]

를 구할 수 있다.

급수 [math]\displaystyle{ \sum_{k \ge 0} x^k }[/math]는 [math]\displaystyle{ |x|\lt 1 }[/math]일 때 수렴하며 [math]\displaystyle{ \sum_{k \ge 0} x^k=(1-x)^{-1} }[/math]이다. 일반적으로

[math]\displaystyle{ \left(\sum_{k \ge 0} x^k\right)^p = (1-x)^{-p} = \sum_{n\ge 0} \binom{n+p-1}{n} x^n }[/math]

가 된다. 이와 비슷한 유한 합은

[math]\displaystyle{ \left(\sum_{k =0}^n x^k\right)^p = \frac 1 {(p-1)!} \sum_{k=0}^{np} \frac{(n-|n-k|+p-1)!}{n-|n-k|!}x^k }[/math]

이다.

밑이 변하는 거듭제곱의 합

가장 기본적인 형태는

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^p }[/math]

이다. 이는 위 경우에 비하여 계산하기가 어렵다. 고교 과정에서는 [math]\displaystyle{ p=1, 2, 3 }[/math]의 경우를 배우는데, 이항정리를 이용하여 귀납적으로 이끌어낸다. [math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^p }[/math]를 만들기 위하여 [math]\displaystyle{ (x+1)^{p+1} - x^{p+1} = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}x^j }[/math]를 이용한다. 이 식을 [math]\displaystyle{ i=0 }[/math]에서부터 [math]\displaystyle{ i=n }[/math]까지 더하면

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n \left((i+1)^{p+1} - i^{p+1}\right)=(n+1)^{p+1} = \sum_{i=0}^n \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j}i^j = \sum_{j=0}^{p} \binom{p+1}{j} \sum_{i=0}^n i^j }[/math]

이다. 이를

[math]\displaystyle{ (n+1)^{p+1}-\sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j=\binom{p+1}{p}\sum_{i=0}^n i^p }[/math]

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n i^p = \frac{(n+1)^{p+1}}{p+1} - \frac 1 {p+1} \sum_{j=0}^{p-1}\binom{p+1}{j}\sum_{i=0}^n i^j }[/math]

로 정리하면 원하는 식을 얻는다.

베르누이 수를 이용하면 귀납적이지 않은 하나의 식으로 위의 합을 나타낼 수 있다. 오일러-매클로린 공식을 이용하여

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n f(k) = \int_1 ^n f(x)\mathrm dx + \frac{1}{2}(f(1)+f(n)) + \sum_{k=1}^\infty \frac{B_k}{k!}\left(f^{(k-1)}(b) - f^{(k-1)}(a)\right) }[/math]

에서 [math]\displaystyle{ f(k) = k^p }[/math]로 두면,

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k^p = n^p + \sum_{k=0}^p \frac{B_k p!}{k! (p-k+1)!}n^{p-k+1} = \sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!}n^k }[/math]

이 식에서 계수들의 합이 1이라는 것을 쉽게 알 수 있다.

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^{p+1} \frac{(-1)^{p-k+1}B_{p-k+1} p!}{k! (p-k+1)!} = 1 }[/math]

또한 두 개의 파라미터로 변하는 급수로도 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ \sum_{i=0}^n k^p = \sum_{i=1}^p \sum_{j=0}^{i-1} (-1)^j (i-j)^p \binom{n+p-i+1}{n-i} \binom{p+1}{j} }[/math]

공식

• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k=\frac 1 2 n(n+1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^2=\frac 1 6 n(n+1)(2n+1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^3=\frac 1 4 n^2 (n+1)^2 }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^4=\frac 1 {30} n (n+1)(2n+1)(3n^2+3n-1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^5=\frac 1 {12} n^2 (n+1)^2 (2n^2 + 2n-1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^6=\frac 1 {42} n(n+1)(2n+1)(3n^4 + 6n^3 - 3n + 1) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^7=\frac 1 {24} n^2 (n+1)^2 (3n^4 + 6n^3 - n^2 - 4n + 2) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^8=\frac 1 {90} n(n+1)(2n+1)(5n^6 + 15n^5 + 5n^4 - 15n^3 - n^2 + 9n - 3) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^9=\frac 1 {20} n^2(n+1)^2 (n^2+n-1)(2n^4 + 4n^3 - n^2 - 3n + 3) }[/math]
• [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^n k^{10}=\frac 1{66} n(n+1)(2n+1)(n^2+n-1)(3n^6 + 9n^5 + 2n^4 - 11n^3 + 3n^2 + 10n -5) }[/math]

1부터의 연속한 자연수의 합

같은 색으로 표현된 도형은 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k }[/math]를 나타내고, 가로는 [math]\displaystyle{ n }[/math], 세로는 [math]\displaystyle{ n+1 }[/math]임에서 공식을 유도할 수 있다.

특히 연속한 자연수의 합은 여러 가지 방법으로 구할 수 있다. 가장 알기 쉬운 방법으로는, 소문으로 들려오는 가우스가 어렸을 때 썼다는 방법이 있다.

	1	+	2	+	…	+	(n-1)	+	n
+)	n	+	(n-1)	+	…	+	2	+	1
	(n+1)	+	(n+1)	+	…	+	(n+1)	+	(n+1)	[math]\displaystyle{ \quad n }[/math] 개

위에서 [math]\displaystyle{ 2\sum_{k=1}^n k = n(n+1), \quad \sum_{k=1}^n k = \frac 1 2 n(n+1) }[/math]임을 알 수 있다.

니코마코스의 정리

가로와 세로가 모두 [math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k }[/math]이고, 한 변의 길이가 [math]\displaystyle{ k }[/math]인 정사각형이 [math]\displaystyle{ k }[/math] 개 있으므로 그 넓이의 합은 [math]\displaystyle{ k^2 \cdot k = k^3 }[/math]이고 공식이 유도된다.

세제곱의 합 공식

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k^3 = \frac 1 4 n^2 (n+1)^2 }[/math]

을 보면, 누구나 자연수의 합 공식의 제곱으로 나타남을 알 수 있을 것이다.

[math]\displaystyle{ \sum_{k=1}^n k^3 = \left(\sum_{k=1}^n k\right)^2 }[/math]

이를 니코마코스의 정리(Nicomachus's theorem)라고 한다.

참고

• Wolfram Mathworld