개요
일반인들에게 설명할 때는 미적분학의 엄밀화라고 하고, 정확히는 부등식의 학문. 실수체 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]은 그런 부등식을 다루기 아주 적합한 공간이고, 이 부등식으로 어떤 함수를 어떻게 표현할 것이냐, 이것으로 함수는 어떻게 움직이느냐를 결정한다.
역사
해석학은 1600년대부터 뉴턴과 라이프니츠에 의해 발전하기 시작하였다.
함수 [math]\displaystyle{ f:\Bbb{R}\to \Bbb{R} }[/math]로 부터
[math]\displaystyle{ f'(a)=\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} }[/math]
로 미분을 정의했다. 그 때는 극한의 개념조차 없던 때였는데, 미분을 정의하려면 극한이 필요했으므로 극한을 단순히 "무한히 가까이 가져갔을 때 나오는 값"으로 정의하게 된다. 그리고 [math]\displaystyle{ x-a }[/math]는 [math]\displaystyle{ x }[/math] 를 [math]\displaystyle{ a }[/math] 로 무한히 가져다 대면 0이 되는데, 그러면 저것은 분모가 0인 꼴이 나와서 이상한 값이 나오게 된다. 그래서 나온 것이 무한소란 개념. 물론 무한소조차도 전혀 제대로 정의되지 않았지만, 어쨌든 뉴턴과 라이프니츠는 이렇게 정의하고 많은 것을 계산했다. 그것이 정확히 무엇인지는 전혀 모른 채로.
1800년대 추가 되어서 해석학은 엄밀화를 거친다. 코시와 바이어슈트라스가 대표적이고, 1900년대 초에 가면 이미 우리가 대학에서 배우고 있는 해석학이 모두 완성되었다고 보면 된다.
실해석학
개요
해석학에서 가장 처음에 하는 것은 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]의 성질을 알아내는 것이다. 완비(least upper property) 순서체(ordered field)는 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]가 유일하다.
그 다음에 하는 것은 수열의 극한을 정의하는 것. 수열 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 있다고 할 때 이것이 a로 수렴한다는 것은 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 자연수 N이 있어서
[math]\displaystyle{ n\ge N \implies |a-a_n|\lt \varepsilon }[/math]
를 만족하는 것이다. 그리고 Bolzano-Weierstrass theorem을 증명한다. Bolzano-Weierstrass theorem이란 모든 bounded sequence는 convergent subsequence를 가진다는 내용이다.
그리고 Cauchy sequence를 하는데, 이는 수렴성의 정의에서
[math]\displaystyle{ m,n\ge N \implies |a_m-a_n|\lt \varepsilon }[/math]
로만 바꾸면 된다. 수렴성의 정의와 다른 점은 어디로 수렴하는지 명확하게 없다는 점. 그리고 [math]\displaystyle{ \Bbb{R} }[/math]에선 어떤 수열이 수렴한다는 명제와 Cauchy sequence라는 명제가 동치임을 증명한다. 그리고 증명 과정에서 Bolzano-Weierstrass theorem을 쓴다.
그리고 limsup과 liminf를 정의하는데, 이는 bounded sequence [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]이 있을 때 [math]\displaystyle{ \{a_n\} }[/math]의 subsequence가 수렴할 수 있는 값들을 모은 집합을 E라고 하면 E는 Bolzano-Weierstrass theorem으로 공집합이 아니고
[math]\displaystyle{ \begin{aligned} & \limsup_{n\to \infty}a_n=\text{sup}\,E \\ & \liminf_{n\to \infty}a_n=\text{inf}\,E \end{aligned} }[/math]
로 정의한다. 그리고 이것의 성질들을 생각한다.
다음에 할 것은 연속성인데, 연속성의 정의는 극한의 정의를 따라한 것이다. [math]\displaystyle{ a\in \Bbb{R} }[/math]가 있고, U가 a의 open neighborhood라고 하고 [math]\displaystyle{ f:U\to \Bbb{R} }[/math]가 있으면 f가 x=a에서 연속이라는 것은 모든 [math]\displaystyle{ \varepsilon\gt 0 }[/math]에 대해서 적당한 [math]\displaystyle{ \delta\gt 0 }[/math]가 있어서
[math]\displaystyle{ |x-a|\lt \delta \implies |f(x)-f(a)|\lt \varepsilon }[/math]
이라는 것이다. 이것이 유명한 ε-δ 논법. 그리고 uniformly continuous도 정의하는데, 이번엔 a를 잡지 않고 집합을 생각한다.
[math]\displaystyle{ |x-y|\lt \delta \implies |f(x)-f(y)|\lt \varepsilon }[/math]
그러니까, uniformly continuous는 그냥 연속성보다 더 global한 개념이다.
다음으로 적분은 [math]\displaystyle{ \int_{a}^{b} f(x) dx }[/math]의 형태로, 해석학에서는 리만적분을 사용한다. 리만적분을 하기 위해서는 먼저 리만합을 알아야 하는데, 리만합은 어떤 분할 [math]\displaystyle{ \pi = \{ x_0 (=a) , x_1 , ... , x_n (=b) \} }[/math]이 있어서 [math]\displaystyle{ S(f, \pi) = \sum_{j=1}^{n} f(s_j) (x_j - x_{j-1}) }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x_{j-1} \leq s_j \leq x_j }[/math]인 것이다.
이 리만합이 분할을 하면 할 수록 어떤 값으로 수렴할 경우, 이 함수[math]\displaystyle{ f }[/math]는 [math]\displaystyle{ [a,b] }[/math]에서 리만적분이 가능하다고 말한다.