해석학과 위상수학에서, 하이네-보렐 정리(Heine-Borel theorem)는 유클리드 공간에서, 닫힌 유계 집합만이 컴팩트하다는 것을 말한다. 유클리드 공간을 자주 다루는 실해석학에서 기본적인 성질을 증명할 때 자주 사용된다.
진술
유클리드 공간의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 다음 두 조건이 동치이다:
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하다.
증명
이하는 PMA에 소개된 증명을 따른다.
보조정리 1
[math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle은 컴팩트하다.
Proof. [math]\displaystyle{ I = \prod_{j=1}^k [a_j, b_j] }[/math]를 [math]\displaystyle{ k }[/math] 차원 hyperrectangle이라고 하고, 그 대각선 길이를 [math]\displaystyle{ \delta = \sqrt{\sum (b_j - a_j)^2 } }[/math]이라 하자. [math]\displaystyle{ \delta = \operatorname{diam}I }[/math]이므로 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 두 점의 거리는 [math]\displaystyle{ \delta }[/math]보다 작거나 같다. 이제, 모순을 이끌어 내기 위해서 유한한 부분 덮개를 가지지 않는 어떤 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 열린 덮개 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]가 있다고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ I }[/math]의 각 변을 절반씩 나누어 만들어지는 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math]개의 hyperrectangle 중에서 [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 hyperrectangle이 하나 이상 존재하는데, 이 중 하나를 [math]\displaystyle{ I_1 }[/math]이라고 하자. 이런 식으로, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]를 [math]\displaystyle{ 2^k }[/math] 개로 나눈 후 그 중 유한한 부분 덮개로 덮이지 않는 것을 [math]\displaystyle{ I_{n+1} }[/math]이라 하자. 그렇다면 집합들의 열 [math]\displaystyle{ \left \lt I_n \right\gt }[/math]은 [math]\displaystyle{ I_n \supseteq I_{n+1} }[/math]이고, 이 중 어느 것도 [math]\displaystyle{ \{ G_\alpha \} }[/math]의 유한한 부분 덮개로 덮이지 않고, [math]\displaystyle{ I_n }[/math]의 임의의 두 점 사이 거리는 [math]\displaystyle{ 2^{-n} \delta }[/math]보다 작을 수밖에 없다. [math]\displaystyle{ I_n = \prod_{j=1}^k [a_{n, j}, b_{n, j}] }[/math]라 두고 [math]\displaystyle{ \mathbf x \in \prod _j [\sup_n a_{n, j}, \inf_n b_{n, j}] \ne \emptyset }[/math]라 하면 [math]\displaystyle{ \mathbf x\in \bigcap_{n=1}^\infty I_n }[/math]이다. [math]\displaystyle{ \{G_\alpha\} }[/math]는 열린 덮개이므로 어떤 [math]\displaystyle{ G_\alpha }[/math]에 포함되는 [math]\displaystyle{ \mathbf x }[/math]의 열린 [math]\displaystyle{ \epsilon }[/math]-ball이 있을 것이고, 아르키메데스 성질에 의하여 [math]\displaystyle{ 2^{-n}\delta \le \epsilon }[/math]인 [math]\displaystyle{ n }[/math]이 존재한다. 그런데 이것은 [math]\displaystyle{ I_n \subset G_\alpha }[/math]를 뜻하는 것이므로 모순이다.
보조정리 2
컴팩트한 집합의 닫힌 부분집합은 컴팩트하다.
Proof. 컴팩트 집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 ([math]\displaystyle{ X }[/math]에 대해) 닫힌 부분집합 [math]\displaystyle{ F }[/math]에 대하여, [math]\displaystyle{ \{ V_\alpha \} }[/math]를 [math]\displaystyle{ F }[/math]의 열린 덮개라 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ \{V_\alpha \} \cup \{ F^\mathrm c \} }[/math]은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 열린 덮개를 이룬다. 그런데 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하므로 [math]\displaystyle{ K }[/math]를 덮는 유한한 부분 덮개가 존재하고, 만약 그 부분 덮개에 [math]\displaystyle{ F^\mathrm c }[/math]가 있으면 제외시키자. 그러면 그것은 [math]\displaystyle{ \{ V_\alpha\} }[/math]의 부분 덮개가 된다.
보조정리 3
[math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하면 그 무한 부분집합은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 하나 이상 가진다. (사실 그 역도 성립한다.)
Proof. [math]\displaystyle{ K }[/math]의 무한 부분집합 [math]\displaystyle{ E }[/math] 안에 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점이 하나도 없으면, [math]\displaystyle{ q\in K }[/math]의 근방 [math]\displaystyle{ V_q }[/math]와 [math]\displaystyle{ E }[/math]가 많아야 하나가 되게 할 수 있다. 그런데 이 [math]\displaystyle{ V_q }[/math]는 [math]\displaystyle{ E }[/math]를 덮지 못하므로 [math]\displaystyle{ K }[/math] 역시 덮지 못하고, 이는 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 컴팩트성에 모순이다.
보조정리 4
[math]\displaystyle{ \mathbb R^k }[/math]의 부분집합 [math]\displaystyle{ K }[/math]에 대하여, 임의의 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 무한 부분집합이 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 하나 이상 가지면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 닫혀 있고 유계이다.
Proof. 만약 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 유계가 아니라고 가정하면 [math]\displaystyle{ K }[/math]에서 [math]\displaystyle{ |\mathbf x_ n | \gt n }[/math]인 원소들을 가져와 점렬을 만들 수 있고, [math]\displaystyle{ \{\mathbf x_n\}_{n\in\mathbb N} }[/math]은 극한점을 가지지 않으므로 모순이다.
만약 [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있지 않다고 가정하면, [math]\displaystyle{ \mathbf x^* \in K' \setminus K }[/math]가 존재한다. [math]\displaystyle{ \mathbf x_0 }[/math]가 극점이므로 [math]\displaystyle{ | \mathbf x_n - \mathbf x^* | \lt 1/n }[/math]인 [math]\displaystyle{ \left\lt \mathbf x_n\right\gt }[/math]가 존재하고, [math]\displaystyle{ \{\mathbf x_n \} }[/math]는 무한집합이며 [math]\displaystyle{ \mathbf x^* }[/math]만을 극한점으로 갖는다. 그런데 이 집합은 [math]\displaystyle{ K }[/math]의 극한점을 포함하지 않으므로 모순이다.
본 정리의 증명
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 닫혀 있고 유계이면 [math]\displaystyle{ K }[/math]는 컴팩트하다.
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 유계이면 [math]\displaystyle{ K \subseteq I }[/math]인 hyperrectangle [math]\displaystyle{ I }[/math]가 존재하고, [math]\displaystyle{ K }[/math]는 컴팩트한 [math]\displaystyle{ I }[/math](보조정리 1)의 닫힌 부분집합이므로 컴팩트하다(보조정리 2).
- [math]\displaystyle{ K }[/math]가 컴팩트하면 닫혀 있고 유계이다.
- 보조정리 3과 보조정리 4에 의하여 증명된다.