정의
함수 [math]\displaystyle{ f:A \subseteq \mathbb{R}^m \to \mathbb{R} }[/math](단, m은 2 이상의 양의 정수[1])을 생각하자.
[math]\displaystyle{ A }[/math]의 내부점(interior point) [math]\displaystyle{ \mathbf{x} \in \operatorname{int} A }[/math]에서, 영이 아닌[2] [math]\displaystyle{ \mathbf{u}\in \mathbb{R}^m }[/math]에 대하여 다음 극한
- [math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(\mathbf{x}+t\mathbf{u})-f(\mathbf{x})}{t} }[/math]
이 존재하면, 이를 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서의 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]에 대한 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 방향도함수(directional derivative of [math]\displaystyle{ f }[/math] at [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] along the vector [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math]) 또는 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서의 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math] 방향의 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 방향도함수(directional derivative of [math]\displaystyle{ f }[/math] at [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math] in the direction [math]\displaystyle{ \mathbf{u} }[/math])라고 하고, [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u}) }[/math]로 표기한다.
이러한 정의는 일변수함수의 미분을 이용한 다음 정의
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u}) = \left. \frac{d}{dt} f(\mathbf{x}+t\mathbf{u}) \right|_{t=0} }[/math]
와 동치임을 쉽게 확인할 수 있다.
방향도함수의 성질
만약 [math]\displaystyle{ f }[/math]가 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서 미분가능하면 [math]\displaystyle{ \mathbf{x} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ f }[/math]의 모든 방향도함수가 존재하고
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=Df(\mathbf{x})\cdot \mathbf{u} }[/math]
이다. 그 역은 성립하지 않는다.
만약 [math]\displaystyle{ \mathbf{u} = k\mathbf{v} }[/math]이면
- [math]\displaystyle{ f'(\mathbf{x};\mathbf{u})=kf'(\mathbf{x};\mathbf{v}) }[/math]
이다.
이름에 대하여
이름에 대해 의문을 가질 수 있는데, 우리가 일변수함수 [math]\displaystyle{ f:A \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R} }[/math]가 x에서 미분가능할 때 [math]\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{f(x+t)-f(x)}{t} }[/math]는 도함수라기보다 미분계수라고 했고, 각 x에 대해 그 점에서의 미분계수를 대응시키는 함수라야 도함수라고 하였기 때문이다. 즉 여기서도 방향도함수라기보다 방향미분계수라고 하여야 하는 것이 아니냐는 것이다.
아마도 일변수함수에서는 x 근방에서의 함숫값을 가지고 평균변화율의 극한을 구해 보아야 그건 한 점에서의 미분계수의 값일 뿐으로서 그 점이 아닌 점에서의 극한에는 아무 영향이 없다는 점을 강조하고, 각 점마다 그 점에 대해 그러한 극한값을 생각하여야 비로소 도함수라는 함수를 상정할 수 있다는 점을 강조하기 위해 (특별히 고등학교) 교육과정에서는 이처럼 다른 이름을 가르쳐 주는 듯하나,
결국 미분계수라는 게 그 점에서의 도함수의 함숫값과 같게 되는 점, 일변수함수에서의 많은 경험을 한 이제 와서는 그냥 ‘도함수’라는 이름을 혼용해도 별 혼동은 없을 것이라는 점, 특히 영어에서는 어떤 함수의 이름을 그 함수 자체로도 또 함숫값으로도 쓰는 것이 전혀 어색하지 않다는 점에서 그냥 방향도함수(directional derivative)라고 뭉뚱그려 일컫는 듯하다.