위키독:뫼비우스의 베이글 (feat. 치즈 많이 바르는 팁)

뫼비우스의 띠

Möbius strip

기하학-위상수학에서 출현하는 띠.

앞면과 뒷면이 하나로 이어져서 면이 하나밖에 존재하지 않는다. 이 오묘함에 비해 누구나 쉽게 만들 수 있는 구조로 되어있다. 단순히 긴 종이를 한 번만 꼬아 서로를 연결하면 뫼비우스의 띠가 된다.

일반적인 고리와 뫼비우스의 띠, 그리고 두 번 꼬은 뫼비우스의 띠.gif

뫼비우스의 띠는 1858년에 아우구스트 페르디난트 뫼비우스와 요한 베네딕트 리스팅이 서로 독립적으로 발견했다. 하지만 뫼비우스쪽이 이 개념을 더 깊이 연구하여 뫼비우스 유형의 곡면들과 관련된 방향성이라는 개념으로 심화시켰다. 이에 리스팅은 거의 잊혀지고 뫼비우스의 이름이 남게되었다.

뫼비우스의 띠를 검색하면 많은 경우 다음과 같은 그림을 얻는다.

단순히 뫼비우스의 띠를 ∞ 모양으로 만든 것으로 이러한 이미지 때문에 뫼비우스의 띠와 무한을 헷갈려하는 사람도 있는데 뫼비우스의 띠와 무한은 큰 관련이 없는 개념이다. 사실 일반적인 띠로도 이 그림을 만들 수 있다! 다만 끊임없이 순환한다는 개념이 무한의 개념과 뭔가 연관이 있다고 생각할 수는 있으나 생각해보면 일반적인 띠도 안쪽과 바깥쪽의 면이 2개 있는 것 뿐, 각각의 면은 계속 이어지고 있다.

뫼비우스의 띠는 유클리드 평면하에서 총 두 종류이다. 굳이 유클리드 평면이라는 단어를 붙이는 이유는 공간이 꼬이고 휜 비유클리드공간에서는 일반적인 기하학이 성립되지 않는 경우가 많기 때문이다. 비유클리드공간은 대표적으로 지구와 같은 볼록한 구형과 말안장과 같은 오목한 형태 등을 들 수 있다. 이때는 직선이 휘어서 진행하거나 삼각형의 내각의 합이 270도가 되는 등의 상식과 맞지않는 현상이 발생한다!

아무튼 뫼비우스의 띠는 오른쪽으로 꼬아 붙인 것과 왼쪽으로 꼬아 붙인 것, 두 가지 형태가 나오는데 이를 조금 어려운 말로 키랄성을 띤다고 한다.

키랄성(Chirality)이란 쉽게 말해 거울상이라고 생각하면 된다. 거울에 비춰보면 오른쪽과 왼쪽이 반대가 되듯이 뫼비우스의 띠 하나를 만들어서 거울에 비춰보면 다른 종류의 뫼비우스의 띠가 보이게 된다.

뫼비우스의 띠를 자르면

뫼비우스의 띠는 그 성질답게 면의 진행방향으로 잘랐을 때 희안한 모습을 하게 된다. 그림[3]처럼 뫼비우스의 띠를 반으로 자르면 그림 [2]의 A를 얻게 된다. 그리고 두 번 다르면 그림 [2]의 A와 B를 동시에 얻게 된다.

즉 반으로 잘랐음에도 떨어지지 않는다. 이를 이용해서 두개의 하트를 만들기도 하는데 방법은 다음과 같다.

뫼비우스의 띠의 응용

뫼비우스의 띠는 다양한 방면에서 응용되고 있다.

• 재활용 마크

우리가 가장 흔하게 볼 수 있는 것에 뫼비우스의 띠가 숨어있는데 바로 재활용마크가 그것이다.

중간중간 떨어져 있는 구간이 있어서 잘 상상이 안된다면 옆의 그림을 보자.

• 컨베이어 벨트

컨베이어벨트의 일부는 뫼비우스의 띠로 디자인한다. 벨트가 오래되면 교체를 해주어야 되는데 뫼비우스의 띠로 양면을 골고루 닳게하면 그 수명이 2배가 된다는 점을 이용한 것이다.

• 카자흐스탄 국립 도서관

뫼비우스의 띠가 건축에 쓰인 예이다. 실제 건설된 것은 아니고 아직 디자인 단계이다. 말하자면 컨셉카같은 개념.

덴마크 건축 회사 BIG이 설계했으며 '벽이 지붕이되고, 지붕이 바닥이 되고, 바닥이 다시 벽이 되며' 나선을 그리며 위로 올라갔다가 아래로 내려가는 방식이다.

• 포천시 슬로건

포천시의 슬로건에도 사용되고 있다.

뫼비우스의 베이글

뫼비우스의 베이글은 미국의 기하학자 George W. Hart가 개발해낸 방법으로 엄밀히 말하면 뫼비우스의 띠를 응용한 것은 아니지만 자른 결과가 뫼비우스의 띠처럼 나오게 되어 이러한 별명이 붙게 되었다. 사실 원작자는 단순히 『Mathematically Correct Breakfast』, 즉 수학적으로 옳은 아침식사라는 제목으로 이 방법을 공개했었다.

이것은 실제로는 위상수학을 이용한 방법인데 흔히 Mobius bagel로 세간에 알려져 있으며 유튜브에 Mobius bagel이라고 치면 관련 영상을 많이 볼 수 있다. 사실 일반인 입장에선 위상수학을 이용한 베이글이라는 끔찍한 이름보다는 그나마 친숙한 뫼비우스의 베이글이라는 네이밍이 더 좋긴하다.

이 방법의 장점은 상대방의 궁금증을 유발하는 것도 있지만 베이글을 그냥 반으로 자르는 것 보다 더 많은 치즈를 발라 먹을 수 있다는 것이다. 치즈를 좋아하는 사람이라면 더 맛있게 먹을 수 있는 방법이기도 하니 한 번 연습해보자. 다만 소개팅이나 미팅과 같은 특수한 상황에서 이 방법을 썼다가는 공대생의 눈물.avi를 찍을 수 있으니 상대를 봐가면서 하자.

이는 뫼비우스의 베이글의 원리를 애니메이션으로 제작해 둔 것.

이는 실제로 뫼비우스의 베이글을 만드는 방법이다.

그리고 원작자가 직접 영상을 올린 것이다.

그는 그의 홈페이지에 총 두가지 방법의 베이글 자르는 법을 올렸다.

첫번째는이곳에 링크 되어있다. 물론 영어로 되어있다.

두번째는이곳에 링크 되어있다. 물론 이것도 영어

링크를 방문하는 수고를 덜기 위해 그 방법은 아래에 모두 설명해놓았다.

왼쪽에 있는 것이 첫번째 방법으로 자른 베이글이고 오른쪽에 있는 것이 두번째 방법으로 자른 베이글이다.

각각 Mathematically Correct Breakfast와 Mathematically Correct Breakfast 2라고 되어있다.

아래의 자르는 방법에 대한 상세한 설명은 모두 원작자의 홈페이지에서 따왔다. 그림 밑의 영어는 원작자의 뜻을 정확하게 하기 위해 그의 말을 그대로 복사해 온 것. 영어에 울렁증을 느끼는 분들을 위해 간단한 해설도 첨부했다.

첫번째 방법

To start, you must visualize four key points. Center the bagel at the origin, circling the Z axis. A is the highest point above the +X axis. B is where the +Y axis enters the bagel. C is the lowest point below the -X axis. D is where the -Y axis exits the bagel.

위의 점들은 자르는 곳을 표시해 둔 것이다. 베이글의 위를 z축으로 잡고 베이글의 임의의 방향을 x, 그와 직교하는 축을 y로 잡는 것부터 시작한다. 명심하자. 이 방법을 개발한 사람은 수학빌런이다!

A는 +X축의 가장 높은 부분, B는 베이글의 중심에서 +Y축으로 가는 쪽

C는 -X축의 가장 낮은 쪽, D는 -Y축의 나가는 쪽에 찍자.

이 말이 헷갈린다면 그냥 그림을 보고 따라해도 된다.

These sharpie markings on the bagel are just to help visualize the geometry and the points. You don't need to actually write on the bagel to cut it properly.

이 점선들은 기하학을 시각화할 수 있게 도와주는 선으로 실제로 따라할 필요는(...)없다고 되어있다. 이미 점을 찍은거부터가 버리겠다는건데?

The line ABCDA, which goes smoothly through all four key points, is the cut line. As it goes 360 degrees around the Z axis, it also goes 360 degrees around the bagel.

선을 ABCDA로 잇는다. 이때 z축을 기준으로 한바퀴 돈다고 생각하면 된다. 이 실선은 자르는 구간을 표시한 것.

The red line is like the black line but is rotated 180 degrees (around Z or through the hole). An ideal knife could enter on the black line and come out exactly opposite, on the red line. But in practice, it is easier to cut in halfway on both the black line and the red line. The cutting surface is a two-twist Mobius strip; it has two sides, one for each half.

붉은 선은 검은 실선과 똑같이 그리되 180도만 그린다. 실제로 자를 때는 검은 선쪽을 자르게 되고 정확히 반대쪽으로 끝나게 된다. 이 끝나는 구간은 붉은 선에 위치한다.

하지만 원작자는 처음으로 이를 자를 때는 연습삼아 붉은선도 같이 자르라고 한다. 그리고 이렇게 자르게 되면 두 개의 뫼비우스의 띠가 탄생한다고 한다.

After being cut, the two halves can be moved but are still linked together, each passing through the hole of the other. (So when you buy your bagels, pick ones with the biggest holes.)

맞게 잘랐다면 이런 희안한 베이글을 얻게 된다. 그리고 원작자는 구멍을 통해 각각의 반쪽 베이글을 연결한채 움직일 수 있다고 한다. 이를 위해 가운데의 구멍이 큰 베이글을 사라는 조언도 잊지 않는다.

If you visualize the key points and a smooth curve connecting them, you do not need to draw on the bagel. Here the two parts are pulled slightly apart.

그 점과 선을 가상으로 상상할 수 잇다면 그냥 잘라보라고 한다. 물론 이를 위해선 연습이 조금은 필요하겠지만.

If your cut is neat, the two halves are congruent. They are of the same handedness. (You can make both be the opposite handedness if you follow these instructions in a mirror.) You can toast them in a toaster oven while linked together, but move them around every minute or so, otherwise some parts will cook much more than others, as shown in this half.

제대로 잘랐다면 두 반쪽은 완전히 같은 모양일 것이라고 한다. 또 둘은 앞서 언급했던 키랄성을 가지고 있어 각각의 조각은 서로 거울상이라고 한다. 즉, 뫼비우스의 띠의 두 종류를 한꺼번에 얻은 것.

그리고 각 조각이 연결된 채로 구울 수도 있지만 이때는 계속해서 돌려주어 열을 골고루 받게 해야한다고 한다. 그냥 그대로 두면 위의 그림과 같이 탄부분과 안 탄 부분이 명확해 진다고 하고 있다.

It is much more fun to put cream cheese on these bagels than on an ordinary bagel. In additional to the intellectual stimulation, you get more cream cheese, because there is slightly more surface area.

뫼비우스의 베이글을 완성한 뒤 크림 치즈를 바를 때 일반적인 베이글보다는 재미있다고 한다. 수학자한테나 그렇겠지. 그리고 가장 유용한 것은 일반적으로 자른 베이글보다 더 많은 표면적을 가지고 있어 더 많은 치즈를 바를 수 있다고 한다.

두번째 방법

이는 뫼비우스의 띠는 아니고 토러스매듭을 이용한 베이글 자르기이다.

토러스매듭이란

이러한 매듭으로 이것 역시 위상수학에서 튀어나오는 개념이다. 이 방법은 뫼비우스의 베이글보다는 살짝 복잡하다.

After you've mastered cutting your bagel into two linked halves, you may want to try the knotted cuts shown on this page. They show two ways to cut a bagel into a simple overhand knot, also called a "trefoil" knot. Above is one version, which mathematicians call "the (2,3)-torus knot toasted with cream cheese." But it is a bit tricky, so first try the (3,2)-torus knot. They are both trefoils.

원작자가 말하기를, 뫼비우스의 베이글을 마스터한 뒤에 이 방법으로 잘라보길 원할 수도 있다고 한다.(...) 그리고 (2,3) 토러스매듭은 조금 어려우므로 (3,2)토러스매듭을 먼저 시도해보라고 한다. 왜 이렇게 어렵게 먹어야 되는지는 아무도 모른다!

To start, you must visualize six key points. Three lie 120 degrees apart on the top of the bagel and the other three are directly below them on the bottom of the bagel. Then a smooth spiraling line connects each top point to the other two bottom points. For pedagogocal purposes, the construction is drawn with a marker on this bagel. For gastronomical purposes, you are advised to just visualize the points and lines and omit the drawing step.

이것은 무려 6개의 점을 찍어야 된다고 한다. 3개는 120도 간격으로 위쪽에 나머지 3개는 바로 그 밑의 면에 찍으라고 한다. 그리고 이를 그림과 같이 연결하라고 한다. 물론 이는 교육용으로 점을 찍어놓은 것 뿐이라는 말도 하고 있다.

Follow the line with a knife, cutting halfway in, and the cut should join with the opposite cut to separate through. You can gently work it open and see the bagel is now one continuous D-shaped band that goes three times through the hole and two times around the hole. That is the meaning of the numbers in the notation "(3,2)-torus knot."

그리고 선을 따라 자르게 되면 반대편과 만나면서 빵이 분리 된다. 이것을 열어보면 베이글의 구멍을 통해 세 번, 구멍 둘레에서 연속된 D형 밴드임을 알 수 있는데 이것이 바로 3,2매듭의 의미라고 한다. 잘 이해가 되지 않는다면 다음 그림을 보자.

One way to convince yourself it really is a knot is to wrap a string along the surface, exactly following the path of the uncut bagel. Then tie the ends together to form a loop. (The string does not cross itself or the cut lines.) Can you visualize how the string forms a closed knot?

이것이 금방 이해하기 힘들다고 생각했는지 원작자는 친절하게도 실제 매듭을 보여주며 이해를 돕고 있다. 저 매듭의 형태로 베이글이 잘린다는 것이다. 이것이 맨 앞에 있던 3,2토러스 매듭이다.

You have to break the bagel to separate it from the string. But then you will clearly see the string has an overhand knot in it, which means the bagel did as well.

이 매듭을 지은 후에 베이글을 자라 매듭만 그대로 빼버리면 위의 그림과 같이 나온다.

Now, on to the (2,3)-torus knot. Again, you need to visualize six key points. As the image above shows, there are just two dots on the top, 180 degrees apart.

그리고 (3,2) 매듭에 대해선 되었으니 본격적으로 베이글을 자른다. 이것은 (2,3) 토러스 매듭이다. 이번엔 두 개의 점을 180도 간격으로 위에 찍는다.

The other four points are visible from the bottom. All six lie in one common plane. Each group of three lie 120 degrees apart on a circle that goes through the hole. Again, a smooth line connects each dot to the next, forming one continuous spiral.

그리고 아래에다가는 점을 위의 그림과 같이 찍는다. 총 6개의 점들은 모두 일렬로 정렬되어 있고 각 그룹은 구멍을 통과하는 원에서 120도 각도로 벌어져 있다. 그러니까 각 점을 다음 점으로 연결하여 나선 모양으로 선을 그린다.

윗 모습

This version turns out to be much easier to open up. (I think that is because it goes only two times through the hole, which is where things get tight.)

이것이 아까의 3,2보다 열기 더 쉽다고 한다. 아까는 3개 였지만 이번엔 구멍을 통과하는 점이 2개 밖에 없가고 추측하고 있다.

밑의 모습

Here's the bottom view of the same bagel. The path of the bagel goes three times around the hole and two times through it. Follow it around (or do the string thing) to convince yourself it really is an overhand knot.

자른 면은 베이글의 구멍 주변으로 3번 지나가며 베이글의 구멍은 2번 지나가게 된다.

완성된 모습

Visualize the six points and the curve, so you can make the cut without drawing any lines. Then it is ready to pop into your Klein toaster and enjoy with a schmear of cream cheese!

이 역시 6개의 점과 선을 상상할 수 있으면 그냥 잘라보라고 한다. 그리고 치즈와 함께 베이글을 즐기라고 한다.