공집합

정의

공집합은 아무것도 들어있지 않은 빈 상자에 비유할 수 있다.

원소를 가지지 않는 집합을 공집합(empty set)이라고 한다. [math]\displaystyle{ \emptyset }[/math]으로 나타낸다.

예시

• 방정식 [math]\displaystyle{ x^2+1=0 }[/math]의 실근의 집합
• [math]\displaystyle{ \{(x,y,z)\vert x^n+y^n=z^n,x\in \mathbb{N}, y\in \mathbb{N}, z\in \mathbb{N},n\in \mathbb{N},n\ge 3\} }[/math] (페르마의 마지막 정리)
• 애인이 있는 위키러들의 집합

존재성과 유일성

체르멜로-프렝켈 집합론에서는 존재공리(The axiom of existence)

[math]\displaystyle{ \exists x \forall y[\neg(y\in x)] }[/math]

에 의해 공집합의 존재성을 보장받는다. 확장공리(The axiom of extensionality)

[math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math]

에 의해 공집합이 유일함을 증명할 수 있다.

A와 B를 공집합이라고 가정하자. 그러면 A의 임의의 원소는 B의 원소이며, 마찬가지로 B의 임의의 원소는 A의 원소임을 안다. (뭐?) 따라서 확장공리에 의해 A=B이다.

공집합이 유일함을 보이는 형식적 증명

번호	식	정당화
1	[math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in A)] }[/math]	가설: A는 공집합.
2	[math]\displaystyle{ \forall y[\neg(y\in B)] }[/math]	가설: B는 공집합.
3	[math]\displaystyle{ \forall p \forall q[\forall x(x\in p \Leftrightarrow x\in q)\Rightarrow p=q] }[/math]	확장공리
4	[math]\displaystyle{ \neg(a\in A) }[/math]	(1)에서 Universal instantiation
5	[math]\displaystyle{ \neg(a\in B) }[/math]	(2)에서 Universal instantiation
6	[math]\displaystyle{ a\in A\Rightarrow a\in B }[/math]	(4)에서 Negation introduction
7	[math]\displaystyle{ a\in B\Rightarrow a\in A }[/math]	(5)에서 Negation introduction
8	[math]\displaystyle{ a\in A\Leftrightarrow a\in B }[/math]	(6)과 (7)에서 Biconditional introduction
9	[math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A)\Leftrightarrow (x\in B)] }[/math]	(8)에서 Universal generalization
10	[math]\displaystyle{ \forall x[(x\in A\Leftrightarrow x\in B)]\Rightarrow A=B }[/math]	(3)에서 Universal instantiation
11	[math]\displaystyle{ A=B }[/math]	(10)과 (11)에서 Modus ponens