오일러-라그랑주 방정식

개요

오일러-라그랑주 방정식(Euler-Lagrange equation), 또는 오일러 방정식(Euler's equation)은 1744년 레온하르트 오일러가 처음으로 유도한 방정식이다. [math]\displaystyle{ f,y,y' }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0 }[/math]

인 것은 적분

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f(y(x),y'(x);x)dx }[/math]

가 극값을 가질 필요조건이다.

유도

정적분

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f(y(x),y'(x);x)dx }[/math]

에 대해 [math]\displaystyle{ y=y(x) }[/math]일 때 J가 극값을 가진다면, [math]\displaystyle{ \alpha=0 }[/math]일 때 J가 극값을 가지도록

[math]\displaystyle{ y(\alpha,x)=y(0,x)+\alpha\eta(x) }[/math]

를 정의할 수 있다. 그러면 J를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

[math]\displaystyle{ J=\int_{x_1}^{x_2}f(y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x)dx }[/math]

양변을 α에 대해 편미분하면,

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\frac{\partial}{\partial \alpha}\int_{x_1}^{x_2}f(y(\alpha,x),y'(\alpha,x);x)dx }[/math]

이고 따라서

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \alpha}+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{\partial y'}{\partial \alpha}\right)dx }[/math]

이다. 그러면

[math]\displaystyle{ \frac{\partial y}{\partial \alpha}=\eta(x),\;\frac{\partial y'}{\partial \alpha}=\frac{d\eta}{dx} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \frac{\partial J}{\partial \alpha}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)+\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}\right)dx }[/math]

이다. 이때 부분적분법에 의해

[math]\displaystyle{ \begin{align} \int_{x_1}^{x_2}\frac{\partial f}{\partial y'}\frac{d\eta}{dx}dx&=\left[\frac{\partial f}{\partial y'}\eta(x)\right]_{x_1}^{x_2}-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx\\ &=-\int_{x_1}^{x_2}\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align} }[/math]

이므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} \frac{\partial J}{\partial \alpha}&=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}\eta(x)-\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)\right)\\ &=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx \end{align} }[/math]

그러면 임의의 [math]\displaystyle{ \eta }[/math]에 대해

[math]\displaystyle{ 0=\frac{\partial J}{\partial \alpha}\bigg|_{\alpha=0}=\int_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}\right)\eta(x)dx }[/math]

이므로,

[math]\displaystyle{ \frac{\partial f}{\partial y}-\frac{d}{dx}\frac{\partial f}{\partial y'}=0 }[/math]

을 얻는다.