코시-리만 방정식

복소평면에서 정의된 함수 [math]\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) }[/math]가 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 미분가능하면 다음 편미분방정식

[math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial v}{\partial y},\quad \frac{\partial u}{\partial y}=-\frac{\partial v}{\partial x} }[/math]

를 만족한다. 이 미분방정식을 코시-리만 방정식(Cauchy-Riemann Equation)이라고 한다.

코시-리만 방정식은 극좌표계에서 다음과 같이 나타난다.

[math]\displaystyle{ \displaystyle\frac{\partial u}{\partial r}=\frac{1}{r}\frac{\partial v}{\partial \theta},\quad \frac{\partial v}{\partial r}=-\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial \theta} }[/math]

유도

[math]\displaystyle{ f(z)=u(x,y)+iv(x,y) }[/math]가 [math]\displaystyle{ z_0 }[/math]에서 미분가능하면

[math]\displaystyle{ \displaystyle f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z} }[/math]

이 존재한다. 이때 [math]\displaystyle{ \Delta x,\Delta y\in \mathbb{R} }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ \Delta z=\Delta x+i\Delta y }[/math]로 나타낼 수 있다. f가 [math]\displaystyle{ z_0=(x_0,y_0) }[/math]에서 미분가능하므로

[math]\displaystyle{ \begin{align} f'(z_0)&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(z_0+\Delta x)-f(z_0)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)+iv(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\left(\frac{u(x_0+\Delta x,y_0)-u(x_0)}{\Delta x}+i\frac{v(x_0+\Delta x,y_0)-v(x_0,y_0)}{\Delta x}\right)\\ &=\frac{\partial u}{\partial x}(x_0,y_0)+i\frac{\partial v}{\partial x}(x_0,y_0) \end{align} }[/math]

이고

[math]\displaystyle{ \begin{align} f'(z_0)&=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{f(z_0+i\Delta y)-f(z_0)}{i\Delta y}\\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)+iv(x_0,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)-iv(x_0,y_0)}{i\Delta y}\\ &=\lim_{\Delta y\to 0}\left(\frac{u(x_0,y_0+\Delta y)-u(x_0,y_0)}{i\Delta y}+i\frac{v(x_0,y_0+\Delta y)-v(x_0,y_0)}{i\Delta y}\right)\\ &=-i\frac{\partial u}{\partial y}(x_0,y_0)+\frac{\partial v}{\partial y}(x_0,y_0) \end{align} }[/math]

이다. 실수부와 허수부를 비교하면 원하는 결과를 얻는다.