라그랑주 정리 (군론)

군론(group theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange theorem)는 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 위수(位數,order)는 G의 위수를 나눈다는 정리. 이는 대칭군 G 의 부분군 H가 ‘G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수’ 라는 라그랑주정리를 조사할수있다

예

위수(order) [math]\displaystyle{ 3! \text{인} |G6| \text{또는} Ord(G6) = \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} }[/math]를 가정하면 순환군으로부터 부분군 [math]\displaystyle{ H = \left\{ I,II,III ,IV\right\} }[/math]는

[math]\displaystyle{ I = \left\{ (312), (123),(231) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ II = \left\{ (132) , (123) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math]

[math]\displaystyle{ IV = \left\{ (321), (123) \right\} }[/math] 에서

[math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ III \cdot G }[/math]	[math]\displaystyle{ G \cdot III }[/math]	잉어류(coset)
[math]\displaystyle{ G= \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} \text{중} \left\{ (123) \right\} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 123 =123 \\ 213 \cdot 123 = 213 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix} 123 \cdot 123= 123 \\ 123 \cdot 213 = 213 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (123),(213) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (123),(213) }[/math]는 서로 같다.
[math]\displaystyle{ G \text{중} (231) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 231 = 231 \\ 213 \cdot 231 = 321 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}231 \cdot 123 = 231 \\ 231 \cdot 213 = 132 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (231),(132) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (231),(321) }[/math]는 서로 같지않다.
[math]\displaystyle{ G \text{중} (312) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 312 = 312 \\ 213 \cdot 312 = 132 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}312 \cdot 123 = 312 \\ 312 \cdot 213 = 321 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (312),(321) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (312),(132) }[/math]는 서로 같지않다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (132) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 132 = 132 \\ 213 \cdot 132 = 312 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}132 \cdot 123 = 132 \\ 132 \cdot 213 = 231 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (132),(231) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (132),(312) }[/math]는 서로 같지않다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (213) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 213 = 213 \\ 213 \cdot 213 = 123 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}213 \cdot 123 = 213 \\ 213 \cdot 213 = 123 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (213),(123) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (213),(123) }[/math]는 서로 같다
[math]\displaystyle{ G \text{중} (321) }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 321 = 321 \\ 213 \cdot 321 = 231 \end{matrix} }[/math]	[math]\displaystyle{ \begin{matrix}321 \cdot 123 = 321 \\ 321 \cdot 213 = 312 \end{matrix} }[/math]	좌잉여류(left corset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (321),(312) }[/math] 우잉여류(right corset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (321),(231) }[/math]는 서로 같지않다

좌잉여류(left corset)는 [math]\displaystyle{ gH }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\{ (123),(213) \right\} \text{ 와 } \left\{ (312),(321) \right\} \text{ 그리고 } \left\{(132),(231)\right\} }[/math] 이다. 좌잉여류(left corset)는 3개이다.

[math]\displaystyle{ |G| = |H| \cdot gH }[/math]

[math]\displaystyle{ 6 = 2 \cdot 3 }[/math]

따라서 'G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수'를 확인할수있다.