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[[질량]] <math>m_1,m_2,\cdots, m_n</math>인 [[입자]]의 위치벡터를 <math>\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n</math>라고 하자. 이 입자로 구성된 계의 질량중심을 <math>\mathbf{R}</math>이라고 한다면, | [[질량]] <math>m_1,m_2,\cdots, m_n</math>인 [[입자]]의 위치벡터를 <math>\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n</math>라고 하자. 이 입자로 구성된 계의 질량중심을 <math>\mathbf{R}</math>이라고 한다면, | ||
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이므로 <math>\sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=0</math>이다. 따라서 | 이므로 <math>\sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=0</math>이다. 따라서 | ||
: <math>M\ddot{\mathbf{R}}=\sum_\alpha\mathbf{F}_\alpha^{(e)}</math> | : <math>M\ddot{\mathbf{R}}=\sum_\alpha\mathbf{F}_\alpha^{(e)}</math> | ||
이다.<ref>Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion | 이다.<ref>{{책 인용|저자=Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion|기타=강석태 옮김|제목=일반역학|판=제5판|출판사=Cengage Learning|ISBN=9788962183009}}</ref> | ||
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2019년 1월 5일 (토) 23:16 기준 최신판
정의[편집 | 원본 편집]
질량 [math]\displaystyle{ m_1,m_2,\cdots, m_n }[/math]인 입자의 위치벡터를 [math]\displaystyle{ \mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots,\mathbf{r}_n }[/math]라고 하자. 이 입자로 구성된 계의 질량중심을 [math]\displaystyle{ \mathbf{R} }[/math]이라고 한다면,
- [math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\sum_{i=1}^n m_i \mathbf{r}_i }[/math]
이때
- [math]\displaystyle{ M=\sum_{i=1}^n m_i }[/math]
이다.
만약 질량이 연속적으로 분포되어 있다면,
- [math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\int \mathbf{r} dm }[/math]
이다. 이때 물체의 밀도를 [math]\displaystyle{ \rho(\mathbf{r}) }[/math]이라고 하면,
- [math]\displaystyle{ M=\int \rho(\mathbf{r})dV }[/math]
- [math]\displaystyle{ \mathbf{R}=\frac{1}{M}\int \rho(\mathbf{r})\mathbf{r} dV }[/math]
이다.
성질[편집 | 원본 편집]
- 계의 질량중심의 운동은 계의 총 질량과 동일한 질량을 가진 단일 입자가 모든 외력의 작용을 받아 운동하는 경우와 동일하고, 내력의 작용에 무관하다.
입자 α에 가해지는 외력을 [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_\alpha^{(e)} }[/math], 내력을 [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_\alpha }[/math]라고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ \mathbf{F}_\alpha=\mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\mathbf{f}_\alpha }[/math]
이다. 입자 β가 입자 α에 가하는 힘을 [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]라고 하면,
- [math]\displaystyle{ \mathbf{f}_\alpha=\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]
이다. 한편 뉴턴의 제2법칙에 의해
- [math]\displaystyle{ m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=\mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\mathbf{f}_\alpha }[/math]
이고 따라서
- [math]\displaystyle{ \sum_{\alpha}m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=\sum_\alpha \mathbf{F}_\alpha^{(e)}+\sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]
이다. 그러면
- [math]\displaystyle{ \sum_{\alpha}m_\alpha \ddot{\mathbf{r}_\alpha}=M\ddot{\mathbf{R}} }[/math]
이고
- [math]\displaystyle{ \sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=\sum_{\alpha}\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\beta\alpha}=-\sum_{\alpha}\sum_{\beta}\mathbf{f}_{\alpha\beta} }[/math]
이므로 [math]\displaystyle{ \sum_\alpha\sum_\beta\mathbf{f}_{\alpha\beta}=0 }[/math]이다. 따라서
- [math]\displaystyle{ M\ddot{\mathbf{R}}=\sum_\alpha\mathbf{F}_\alpha^{(e)} }[/math]
이다.[1]
각주
- ↑ Stephen T. Thornton · Jerry B. Marion. 《일반역학》, 강석태 옮김, 제5판, Cengage Learning. ISBN 9788962183009