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리만 곡률 텐서는 [[레비-시비타 접속]] <math>\nabla</math> 을 이용하여 다음과 같이 표기한다. R은 Riemann의 R이다. | 리만 곡률 텐서는 [[레비-시비타 접속]] <math>\nabla</math> 을 이용하여 다음과 같이 표기한다. R은 Riemann의 R이다. | ||
<math>R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w</math> | <math>R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w</math> | ||
여기서 [''u'',''v''] 는 [[벡터장의 리 브라켓]]이다. 각 [[접선벡터]] ''u'', ''v'' 쌍에 대해서, ''R''(''u'',''v'')는 [[접촉공간]]에서 manifold의 선형 변환이다. | 여기서 [''u'',''v''] 는 [[벡터장의 리 브라켓]]이다. 각 [[접선벡터]] ''u'', ''v'' 쌍에 대해서, ''R''(''u'',''v'')는 [[접촉공간]]에서 manifold의 선형 변환이다. | ||
== 기하학적 의미 == | == 기하학적 의미 == | ||
== 성질 == | == 성질 == | ||
리만 곡률 텐서는 다음의 | 리만 곡률 텐서는 다음의 세 가지 혹은 네 가지 성질을 갖고 있다. | ||
반대칭성 | 반대칭성 | ||
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=== 성질의 증명 === | === 성질의 증명 === | ||
제 2 비앙키 항등성은 [[3차 공변도함수]]를 이용하여 증명할 수 있다. | 제 2 비앙키 항등성은 [[3차 공변도함수]]를 이용하여 증명할 수 있다. | ||
== [[리치 곡률 텐서]] == | == [[리치 곡률 텐서]] == | ||
2021년 6월 15일 (화) 18:24 기준 최신판
미분기하학에서 리만 곡률 텐서 혹은 리만-크리스토펠 텐서는 리만 다양체의 곡률을 표현하는 가장 일반적 방법이다. 보통 학부 과정에서 이것을 다루기는 어려우나 할 수는 있다. 바로 이것이 일반 상대성 이론의 가장 기본적인 도구 중 하나이기 때문이다.
리만 곡률 텐서는 레비-시비타 접속 [math]\displaystyle{ \nabla }[/math] 을 이용하여 다음과 같이 표기한다. R은 Riemann의 R이다.
[math]\displaystyle{ R(u,v)w=\nabla_u\nabla_v w - \nabla_v \nabla_u w - \nabla_{[u,v]}w }[/math] 여기서 [u,v] 는 벡터장의 리 브라켓이다. 각 접선벡터 u, v 쌍에 대해서, R(u,v)는 접촉공간에서 manifold의 선형 변환이다.
기하학적 의미[편집 | 원본 편집]
성질[편집 | 원본 편집]
리만 곡률 텐서는 다음의 세 가지 혹은 네 가지 성질을 갖고 있다.
반대칭성
지표 교환 대칭성
제 1 비앙키 항등성
제 2 비앙키 항등성
성질의 증명[편집 | 원본 편집]
제 2 비앙키 항등성은 3차 공변도함수를 이용하여 증명할 수 있다.