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== 개요 == | == 개요 == | ||
이항정리는 보통 [[조합]]을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, <math>\left(a+b\right)^n</math>의<ref>항이 두개이다. 이름이 괜히 '''이항'''정리인게 아니다.</ref> 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, <math>\left(a+b\right)^3</math>의 전개식에서 <math>ab^2</math>의 계수를 찾고 싶다고 하자. <math>\left(a+b\right)^3</math>는 <math>\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)</math>로 쓸 수 있고, 여기서 <math>ab^2</math>의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 <math>a</math>를 한번, <math>b</math>를 두 번 뽑은 [[경우의 수]]와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 <math>\binom{3}{1}=3</math>. 일반적인 경우는 다음과 같다. | 이항정리는 보통 [[조합]]을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, <math>\left(a+b\right)^n</math>의<ref>항이 두개이다. 이름이 괜히 '''이항'''정리인게 아니다.</ref> 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, <math>\left(a+b\right)^3</math>의 전개식에서 <math>ab^2</math>의 계수를 찾고 싶다고 하자. <math>\left(a+b\right)^3</math>는 <math>\left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right)</math>로 쓸 수 있고, 여기서 <math>ab^2</math>의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 <math>a</math>를 한번, <math>b</math>를 두 번 뽑은 [[경우의 수]]와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 <math>\binom{3}{1}=3</math>. 일반적인 경우는 다음과 같다. | ||
:<math>n</math>이 양의 정수일 때, <math>\left(a+b\right)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n</math>이다. 여기서 <math>\binom{n}{r}a^{n-r}b^r</math>를 '''일반항''', <math>\binom{n}{r}</math>를 '''이항계수'''라 한다. <br /> 일반항을 써서 간단히 정리하면, <math>\left(a+b\right)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r</math>. | |||
위 <math>a,b</math>에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다. | 위 <math>a,b</math>에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다. | ||
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* <math>2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots</math> (짝수 번째 계수의 합) | * <math>2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots</math> (짝수 번째 계수의 합) | ||
또한, <math>\left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n</math>이고, 양변의 <math>x^n</math>의 계수를 비교하면, <math>\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0}</math>이다. 그런데 <math>\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}</math>이므로, | 또한, <math>\left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n</math>이고, 양변의 <math>x^n</math>의 계수를 비교하면, <math>\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0}</math>이다. 그런데 <math>\binom{n}{r}=\binom{n}{n-r}</math>이므로, | ||
* <math>\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2</math> | * <math>\binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2</math> | ||
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한편, [[파스칼의 삼각형|파스칼의 정리]]<ref><math>\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}</math></ref>에서도 여러 성질이 유도된다. | 한편, [[파스칼의 삼각형|파스칼의 정리]]<ref><math>\binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r}</math></ref>에서도 여러 성질이 유도된다. | ||
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마지막으로, <math>\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n</math>라 하면, <math>F_0, F_1, \cdots</math>은 [[피보나치 수열]]을 이룬다. 명백히 <math>F_0=1, F_1=1</math>이고, 점화식 <math>F_n=F_{n-1}+F_{n-2}</math>는 [[파스칼의 삼각형|파스칼의 정리]]를 사용하면 된다. | 마지막으로, <math>\binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n</math>라 하면, <math>F_0, F_1, \cdots</math>은 [[피보나치 수열]]을 이룬다. 명백히 <math>F_0=1, F_1=1</math>이고, 점화식 <math>F_n=F_{n-1}+F_{n-2}</math>는 [[파스칼의 삼각형|파스칼의 정리]]를 사용하면 된다. | ||
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마지막으로 [[미분]]을 사용하여 몇 가지 등식을 유도할 수도 있다. | 마지막으로 [[미분]]을 사용하여 몇 가지 등식을 유도할 수도 있다. | ||
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<math>\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n</math>의 양변을 <math>x</math>에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다. | <math>\left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n</math>의 양변을 <math>x</math>에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다. | ||
* <math>\sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}</math><ref><math>r\left(r-1\right)\binom{n}{r}=n\left(n-1\right)\binom{n-2}{r-2}</math>임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.</ref> | * <math>\sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2}</math><ref><math>r\left(r-1\right)\binom{n}{r}=n\left(n-1\right)\binom{n-2}{r-2}</math>임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.</ref> | ||
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위 성질들을 간단히 정리하면 다음과 같다. 당연하지만 외우려들지 말고 유도 과정을 아는 것이 더 중요하다. | |||
위 성질들을 간단히 정리하면 다음과 같다. | |||
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|1. <math>\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n</math> | |1. <math>\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n</math> | ||
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== 다항정리 == | == 다항정리 == | ||
이항정리는 항이 2개 일 때 쓴다면, 다항정리는 항이 2개보다 많을 때 쓴다. 정리는 아래와 같다. | |||
:<math>\left(x_1+x_2+\cdots+x_r\right)^n=\sum\binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}{x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}\cdots{x_r}^{n_r}</math> | |||
여기서 <math>\binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}</math>는 [[다항계수]]라고 하며, <math>r</math> 개의 물체 중 <math>i</math>번째 것을 <math>n_i</math>개 뽑는 가짓 수를 말한다 (<math>n_1+n_2+\cdots+n_r=n</math>). 더 자세한 것은 [[다항계수]]를 참고. | |||
고등학교에선 어려워봤자 항이 3개이며, <math>\left(x+y+z\right)^n</math>의 전개식에서 <math>x^ay^bz^c, \, \left(a+b+c=n\right)</math>의 계수가 <math>\frac{n!}{a!b!c!}</math>임을 알기만 하면 된다. 일반적인 다항계수는 같은 것이 있는 경우의 순열과 같은 방식으로 구하면 된다. 즉, <math>\binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!}</math> | |||
== 관련 항목 == | == 관련 항목 == | ||
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* [[파스칼의 삼각형]] | * [[파스칼의 삼각형]] | ||
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[[분류:대수학]][[분류:조합론]] | |||
[[분류:수학 정리]] |
2021년 10월 3일 (일) 23:54 기준 최신판
Binomial Theorem
개요[편집 | 원본 편집]
이항정리는 보통 조합을 배운 뒤 바로 배우는 내용으로서, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n }[/math]의[1] 일반항을 계산할 때 쓰이는 정리이다. 예를 들어, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^3 }[/math]의 전개식에서 [math]\displaystyle{ ab^2 }[/math]의 계수를 찾고 싶다고 하자. [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^3 }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)\left(a+b\right)\left(a+b\right) }[/math]로 쓸 수 있고, 여기서 [math]\displaystyle{ ab^2 }[/math]의 계수는 전개시 각 항에서 순서에 상관 없이 [math]\displaystyle{ a }[/math]를 한번, [math]\displaystyle{ b }[/math]를 두 번 뽑은 경우의 수와 같다. 즉, 구하고자 하는 계수는 [math]\displaystyle{ \binom{3}{1}=3 }[/math]. 일반적인 경우는 다음과 같다.
- [math]\displaystyle{ n }[/math]이 양의 정수일 때, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n=\binom{n}{0}a^n+\binom{n}{1}a^{n-1}b+\binom{n}{2}a^{n-2}b^2+\cdots+\binom{n}{r}a^{n-r}b^r+\cdots+\binom{n}{n}b^n }[/math]이다. 여기서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}a^{n-r}b^r }[/math]를 일반항, [math]\displaystyle{ \binom{n}{r} }[/math]를 이항계수라 한다.
일반항을 써서 간단히 정리하면, [math]\displaystyle{ \left(a+b\right)^n=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r}a^{n-r}b^r }[/math].
위 [math]\displaystyle{ a,b }[/math]에 다른 항을 넣어 치환해도 식은 성립하므로 이항정리를 사용해 차수가 큰 식의 전개를 빠르게 할 수 있다.
성질[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n }[/math]를 이항정리를 사용해 전개하면, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]이고, 이는 항등식이므로 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 아무 값을 넣어도 성립한다. 아래 성질은 여기서 유도된다.
먼저 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 1을 넣으면,
- [math]\displaystyle{ 2^n=\binom{n}{0}+\binom{n}{1}+\binom{n}{2}+\cdots+\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\binom{n}{r} }[/math]
[math]\displaystyle{ x }[/math]에 -1을 넣으면,
- [math]\displaystyle{ 0=\binom{n}{0}-\binom{n}{1}+\binom{n}{2}-\cdots+\left(-1\right)^n\binom{n}{n}=\sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r} }[/math]
위 두 식을 더한 뒤 2로 나누면,
- [math]\displaystyle{ 2^{n-1}=\binom{n}{0}+\binom{n}{2}+\binom{n}{4}+\cdots }[/math] (홀수 번째 계수의 합)
처음 두 식을 뺀뒤 2로 나누면,
- [math]\displaystyle{ 2^{n-1}=\binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots }[/math] (짝수 번째 계수의 합)
또한, [math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^{2n}=\left(1+x\right)^n\left(1+x\right)^n }[/math]이고, 양변의 [math]\displaystyle{ x^n }[/math]의 계수를 비교하면, [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}\binom{n}{n}+\binom{n}{1}\binom{n}{n-1}+\cdots+\binom{n}{n-1}\binom{n}{1}+\binom{n}{n}\binom{n}{0} }[/math]이다. 그런데 [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}=\binom{n}{n-r} }[/math]이므로,
- [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\binom{n}{0}^2+\binom{n}{1}^2+\cdots+\binom{n}{n}^2=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2 }[/math]
한편, 파스칼의 정리[2]에서도 여러 성질이 유도된다.
먼저, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r} }[/math]에서, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r+1}=0 }[/math]이므로, 이를 제일 왼쪽에 더해주면, [math]\displaystyle{ \binom{0}{r+1}+\binom{0}{r}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{1}{r+1}+\binom{1}{r}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\binom{2}{r+1}+\binom{2}{r}+\cdots+\binom{n}{r}=\cdots=\binom{n+1}{r+1} }[/math]. 정리하면,
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1} }[/math]
비슷한 방법으로, [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r} }[/math]에서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}=\binom{n+1}{0} }[/math]이므로, [math]\displaystyle{ \binom{n+1}{0}+\binom{n+1}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+2}{1}+\binom{n+2}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+3}{2}+\cdots+\binom{n+r}{r}=\binom{n+r+1}{r} }[/math]. 정리하면,
- [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} }[/math]
마지막으로, [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n }[/math]라 하면, [math]\displaystyle{ F_0, F_1, \cdots }[/math]은 피보나치 수열을 이룬다. 명백히 [math]\displaystyle{ F_0=1, F_1=1 }[/math]이고, 점화식 [math]\displaystyle{ F_n=F_{n-1}+F_{n-2} }[/math]는 파스칼의 정리를 사용하면 된다.
마지막으로 미분을 사용하여 몇 가지 등식을 유도할 수도 있다.
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]의 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관해 미분하면, [math]\displaystyle{ n\left(1+x\right)^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}x+3\binom{n}{3}x^2+\cdots+n\binom{n}{n}x^{n-1} }[/math]이고, [math]\displaystyle{ x=1 }[/math]을 대입하면, [math]\displaystyle{ n2^{n-1}=\binom{n}{1}+2\binom{n}{2}+3\binom{n}{3}+\cdots+n\binom{n}{n} }[/math]이다. 정리하면,
- [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1} }[/math][3]
[math]\displaystyle{ \left(1+x\right)^n=\binom{n}{o}+\binom{n}{1}x+\binom{n}{2}x^2+\cdots+\binom{n}{n}x^n }[/math]의 양변을 [math]\displaystyle{ x }[/math]에 관해 두번 미분하면 아래 등식을 얻을 수 있다.
- [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2} }[/math][4]
위 성질들을 간단히 정리하면 다음과 같다. 당연하지만 외우려들지 말고 유도 과정을 아는 것이 더 중요하다.
1. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^n\binom{n}{r}=2^n }[/math] |
2. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^n\left(-1\right)^r\binom{n}{r}=0 }[/math] |
3. [math]\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} }[/math] (홀수 번째 계수의 합) |
4. [math]\displaystyle{ \binom{n}{1}+\binom{n}{3}+\binom{n}{5}+\cdots=2^{n-1} }[/math] (짝수 번째 계수의 합) |
5. [math]\displaystyle{ \binom{2n}{n}=\sum_{r=0}{n}\binom{n}{r}^2 }[/math] |
6. [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{n}\binom{k}{r}=\binom{n+1}{r+1} }[/math] |
7. [math]\displaystyle{ \sum_{k=0}^{r}\binom{n+k}{k}=\binom{n+r+1}{r} }[/math] |
8. [math]\displaystyle{ \binom{n}{0}+\binom{n-1}{1}+\binom{n-2}{2}+\cdots+\binom{1}{n-1}+\binom{0}{n}=F_n }[/math]는 피보나치 수열을 이룬다. |
9. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr\binom{n}{r}=n2^{n-1} }[/math] |
10. [math]\displaystyle{ \sum_{r=0}^nr^2\binom{n}{r}=n\left(n+1\right)2^{n-2} }[/math] |
다항정리[편집 | 원본 편집]
이항정리는 항이 2개 일 때 쓴다면, 다항정리는 항이 2개보다 많을 때 쓴다. 정리는 아래와 같다.
- [math]\displaystyle{ \left(x_1+x_2+\cdots+x_r\right)^n=\sum\binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}{x_1}^{n_1}{x_2}^{n_2}\cdots{x_r}^{n_r} }[/math]
여기서 [math]\displaystyle{ \binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r} }[/math]는 다항계수라고 하며, [math]\displaystyle{ r }[/math] 개의 물체 중 [math]\displaystyle{ i }[/math]번째 것을 [math]\displaystyle{ n_i }[/math]개 뽑는 가짓 수를 말한다 ([math]\displaystyle{ n_1+n_2+\cdots+n_r=n }[/math]). 더 자세한 것은 다항계수를 참고.
고등학교에선 어려워봤자 항이 3개이며, [math]\displaystyle{ \left(x+y+z\right)^n }[/math]의 전개식에서 [math]\displaystyle{ x^ay^bz^c, \, \left(a+b+c=n\right) }[/math]의 계수가 [math]\displaystyle{ \frac{n!}{a!b!c!} }[/math]임을 알기만 하면 된다. 일반적인 다항계수는 같은 것이 있는 경우의 순열과 같은 방식으로 구하면 된다. 즉, [math]\displaystyle{ \binom{n}{n_1\;n_2\;\cdots\;n_r}=\frac{n!}{n_1!n_2!\cdots n_r!} }[/math]
관련 항목[편집 | 원본 편집]
각주
- ↑ 항이 두개이다. 이름이 괜히 이항정리인게 아니다.
- ↑ [math]\displaystyle{ \binom{n}{r}=\binom{n-1}{r-1}+\binom{n-1}{r} }[/math]
- ↑ [math]\displaystyle{ r\binom{n}{r}=n\binom{n-1}{r-1} }[/math]임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.
- ↑ [math]\displaystyle{ r\left(r-1\right)\binom{n}{r}=n\left(n-1\right)\binom{n-2}{r-2} }[/math]임을 이용해서 미분없이 증명할 수도 있다.