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'''라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)'''는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다. | '''라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)'''는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다. | ||
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* <math>|G|=k</math>이면 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>a^k=e</math>이다. | * <math>|G|=k</math>이면 임의의 <math>g\in G</math>에 대해 <math>a^k=e</math>이다. | ||
* ''H'', ''K''가 유한군 ''G''의 부분군이고 ''K''⊆''H''이라고 하자. 그러면 <math>[G:K]=[G:H][H:K]</math>이다. | * ''H'', ''K''가 유한군 ''G''의 부분군이고 ''K''⊆''H''이라고 하자. 그러면 <math>[G:K]=[G:H][H:K]</math>이다. | ||
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[[군론]](group theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange theorem)는 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 [[위수]](位數,order)는 G의 위수를 나눈다는 정리로 이로써 [[대칭군]] G 의 부분군 H가 ‘G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수’ 라는 라그랑주정리로부터 잉여류(coset)를 조사할수있다.<br /> | |||
:<math>3!</math>인 [[위수]](order) <math> |G6| \text{또는} Ord(G6) = \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\}</math>를 가정하면 | |||
[[순환군]]으로부터 부분군 <math>H = \left\{ I,II,III ,IV\right\}</math>는 | |||
:<math>I = \left\{ (312), (123),(231) \right\}</math> | |||
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:<math>III = \left\{ (213), (123) \right\}</math> | |||
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! <math>III = \left\{ (213), (123) \right\}</math> !! <math>III \cdot G</math> !! <math>G \cdot III </math> !! 잉여류(coset) | |||
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| <math>G \text{중} (231) </math>|| <math>\begin{matrix}123 \cdot 231 = 231 \\ 213 \cdot 231 = 321 \end{matrix} </math> | |||
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[[좌잉여류]](left coset) <math>gH </math>는 <math> \left\{ (123),(213) \right\} \text{ 와 } \left\{ (312),(321) \right\} \text{ 그리고 } \left\{(132),(231)\right\}</math> 이다. 좌잉여류(left coset)는 3개이다. | |||
: <math> {{ |G|} \over { |H|}} = gH(\text{잉여류}) </math> | |||
: <math>{{6} \over {2}} = 3 </math> | |||
따라서 'G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수'를 확인할수있다. | |||
== 관련 문서 == | |||
* [[실로우 정리]] | |||
== 참고문헌 == | == 참고문헌 == | ||
* Thomas W. Hungerford (2012). ''Abstract Algebra: An Introduction.'' (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336 | * Thomas W. Hungerford (2012). ''Abstract Algebra: An Introduction.'' (3rd ed). Cengage Learning. {{ISBN|1111573336}} | ||
*[참고] A First Course in Abstract Algebra, 7th Edition by John B. Fraleigh ,Pearson 2002 | |||
*[참고] Basic Modern Algebra 알기쉬운 현대대수학 조용욱 경문사 2016 | |||
[[분류:군론]] | [[분류:군론]] | ||
[[분류:수학 정리]] | [[분류:수학 정리]] |
2022년 5월 27일 (금) 00:57 기준 최신판
라그랑주의 정리(Lagrange's Theorem)는 군과 그 부분군의 위수의 관계를 나타내는 정리다.
진술[편집 | 원본 편집]
K를 유한군 G의 부분군이라고 가정하자. 그러면 K의 위수 |K|는 G의 위수 |G|를 나눈다. 특히, 다음 식이 성립한다.
- [math]\displaystyle{ |G|=|K|[G:K] }[/math]
이때 [math]\displaystyle{ [G:K] }[/math]는 G에 대한 K의 지표를 뜻한다.
증명[편집 | 원본 편집]
[math]\displaystyle{ [G:K]=n }[/math]이라고 하자. 그러면 지표의 정의에 의해 G를 n개의 서로 다른 우잉여류의 합집합으로 나타낼 수 있다. [math]\displaystyle{ c_1,\cdots,c_n }[/math]을 서로 다른 G의 원소라고 하자. 그러면
- [math]\displaystyle{ G=\bigcup_{i=1}^n Kc_i }[/math]
이다. 이때 [math]\displaystyle{ Kc_1,\cdots,Kc_n }[/math]은 서로소이므로,
- [math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |Kc_i| }[/math]
이다. [math]\displaystyle{ |Kc_i|=|K| }[/math]이므로
- [math]\displaystyle{ |G|=\sum_{i=1}^n |K|=n|K|=|K|[G:K] }[/math]
이다.
따름정리[편집 | 원본 편집]
- g를 유한군 G의 원소라 하자. 그러면 g의 위수는 G의 위수를 나눈다.
- [math]\displaystyle{ |G|=k }[/math]이면 임의의 [math]\displaystyle{ g\in G }[/math]에 대해 [math]\displaystyle{ a^k=e }[/math]이다.
- H, K가 유한군 G의 부분군이고 K⊆H이라고 하자. 그러면 [math]\displaystyle{ [G:K]=[G:H][H:K] }[/math]이다.
예[편집 | 원본 편집]
군론(group theory)에서 라그랑주 정리(Lagrange theorem)는 임의의 유한군 G에 대해 그 부분군 H의 위수(位數,order)는 G의 위수를 나눈다는 정리로 이로써 대칭군 G 의 부분군 H가 ‘G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수’ 라는 라그랑주정리로부터 잉여류(coset)를 조사할수있다.
- [math]\displaystyle{ 3! }[/math]인 위수(order) [math]\displaystyle{ |G6| \text{또는} Ord(G6) = \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} }[/math]를 가정하면
순환군으로부터 부분군 [math]\displaystyle{ H = \left\{ I,II,III ,IV\right\} }[/math]는
- [math]\displaystyle{ I = \left\{ (312), (123),(231) \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ II = \left\{ (132) , (123) \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math]
- [math]\displaystyle{ IV = \left\{ (321), (123) \right\} }[/math] 에서
[math]\displaystyle{ III = \left\{ (213), (123) \right\} }[/math] | [math]\displaystyle{ III \cdot G }[/math] | [math]\displaystyle{ G \cdot III }[/math] | 잉여류(coset) |
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[math]\displaystyle{ G= \left\{ (123), (231),(312), (132),(213),(321) \right\} \text{중} \left\{ (123) \right\} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 123 =123 \\ 213 \cdot 123 = 213 \end{matrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{matrix} 123 \cdot 123= 123 \\ 123 \cdot 213 = 213 \end{matrix} }[/math] | 좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (123),(213) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (123),(213) }[/math]는 서로 같다. |
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[math]\displaystyle{ G \text{중} (312) }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{matrix}123 \cdot 312 = 312 \\ 213 \cdot 312 = 132 \end{matrix} }[/math] | [math]\displaystyle{ \begin{matrix}312 \cdot 123 = 312 \\ 312 \cdot 213 = 321 \end{matrix} }[/math] | 좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH(III \cdot G) = (312),(321) }[/math] 우잉여류(right coset) [math]\displaystyle{ Hg(G \cdot III ) = (312),(132) }[/math]는 서로 같지않다 |
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좌잉여류(left coset) [math]\displaystyle{ gH }[/math]는 [math]\displaystyle{ \left\{ (123),(213) \right\} \text{ 와 } \left\{ (312),(321) \right\} \text{ 그리고 } \left\{(132),(231)\right\} }[/math] 이다. 좌잉여류(left coset)는 3개이다.
- [math]\displaystyle{ {{ |G|} \over { |H|}} = gH(\text{잉여류}) }[/math]
- [math]\displaystyle{ {{6} \over {2}} = 3 }[/math]
따라서 'G 의 위수 = H 의 위수 · 잉여류의 갯수'를 확인할수있다.
관련 문서[편집 | 원본 편집]
참고문헌[편집 | 원본 편집]
- Thomas W. Hungerford (2012). Abstract Algebra: An Introduction. (3rd ed). Cengage Learning. ISBN 1111573336
- [참고] A First Course in Abstract Algebra, 7th Edition by John B. Fraleigh ,Pearson 2002
- [참고] Basic Modern Algebra 알기쉬운 현대대수학 조용욱 경문사 2016