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| {{소문자 제목}}
| | q-number |
| '''q-number''' 는 일반적인 [[숫자]] 체계와 다른 공리를 가지고 있습니다.
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| 먼저 정수 n에 1을 더하면 n+1입니다. 하지만 q-number의 정수n에 1을 더해도 n+1이 아닙니다. 이게 무슨 소리일까요?
| | ==q-number 란?== |
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| q-number의 n은 [n]<sub>q</sub>으로 나타낼수 있습니다. 그리고 박스n이라고 읽습니다. 그리고 일반적으로 q는 생략하며 그외의 경우, 예를 들어 q<sup>2</sup>인 경우에는 나타냅니다. | | q-number 는 일반적인 숫자 체계와 다른 공리를 가지고 있습니다. |
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| <math>\left[n \right] = \frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} = 1 + q + {q}^{2} + \cdots + {q}^{n-1}</math>
| | 정수 n에 1을 더하면 n+1입니다. 하지만 q-number 의 정수n에 1을 더해도 n+1이 아닙니다. 이게 무슨 소리일까요? |
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| 이것이 q-number를 일반적인 형태로 나타내었을 때 입니다. 그렇다면 [1]+1이 왜 [2]가 아닌지, 그리고 [[덧셈]]뿐만 아니라 다른 공식도 원래와 다른지 알아볼까요? | | q-number 의 n은 [n]<sub>q</sub>으로 나타낼수 있습니다. 그리고 박스n이라고 읽습니다. 그리고 일반적으로 q는 생략하며 그외의 경우, 예를 들어 q<sup>2</sup>인 경우에는 나타냅니다. |
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| | <math>\left[n \right] = \frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} = 1 + q + {q}^{2} + \sim \sim + {q}^{n-1}</math> |
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| | 이것이 q-number 를 일반적인 형태로 나타내었을 때 입니다. 그렇다면 [1]+1이 왜 [2]가 아닌지, 그리고 덧셈 뿐만 아니라 다른 공식도 원래와 다른지 알아볼까요? |
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| | ==q-number 는 일반 숫자의 공식과 호환이 될까?== |
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| ==q-number는 일반 숫자의 공식과 호환이 될까?==
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| q-number 는 일반적인 숫자와 상당히 다른 형태를 가지고 있습니다. q가 1일 경우에 | | q-number 는 일반적인 숫자와 상당히 다른 형태를 가지고 있습니다. q가 1일 경우에 |
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| [1] = 1 | | [1] = 1 |
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| [2] = 1 + q | | [2] = 1 + q = q<sup>2</sup> - 1 |
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| [3] = 1 + q + q<sup>2</sup> | | [3] = 1 + q + q<sup>2</sup> = q<sup>3</sup> - 1 |
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| [4] = 1 + q + q<sup>2</sup> + q<sup>3</sup> | | [4] = 1 + q + q<sup>2</sup> + q<sup>3</sup> = q<sup>4</sup> - 1 |
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| 이렇게 진행이 됩니다. | | 이렇게 진행이 됩니다. |
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| 이것만 보면 전혀 모든 기존의 연산이 뒤엉켜 버릴것 같은 기분을 느낄 겁니다. 하지만 걱정마세요. 수학자들은 계산하는 방법들을 찾아내었으니깐요. | | 이것만 보면 전혀 모든 기존의 연산이 뒤엉켜 버릴것 같은 기분을 느낄 겁니다. 하지만 걱정마세요. 수학자들은 계산하는 방법들을 찾아내었으니깐요. |
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| ===q-number 의 덧셈=== | | ===q-number 의 덧셈=== |
| q-number 의 덧셈은 그냥 더하는 것으로 되는 것이 아닙니다.
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| [n]+1 = [n+1]과 [x]+[y] = [x+y]로 그 이유를 알아볼까요?
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| ====[n]+1 = [n+1]?====
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| <math>\left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right]</math>
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| <math>\frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} + 1 = \frac{1 - {q}^{n} + 1 - q}{1 - q} = \frac{2 - {q}^{n + 1}}{1 - q} \neq \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}</math>
| | ===q-number 의 곱셈=== |
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| 따라서 [n]+1 는 [n+1]이 아닙니다!
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| [n]+1이 [n+1]이 되도록 하려면 어떻게 해야 할까요?
| | ===q-number의 분수의 덧셈=== |
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| 어떤 q-number 에 q배후 +1을 하면 [q+1] 이 된답니다! 풀어서 확인을 해보죠.
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| <math>q\left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right]</math>
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| <math>q\frac{1 - {q}^{n}}{1 - q} + 1 = \frac{q - {q}^{n+1} + 1 - q}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{n + 1}}{1 - q}</math>
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| 따라서 <math>q\left[n \right] + 1 = \left[n + 1 \right]</math>이죠.
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| ====[x + y] = [x] + [y]?====
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| 이제 다른 계산을 해볼까요? 과연 [x + y] = [x] + [y]일까요? 물론 아니겠죠 그렇다면 어떻게 계산을 할 수 있을까요?
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| 먼저 [x + y] = [x] + [y]로 계산해볼께요
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| <math>\left[x \right] + \left[y \right] = \left[x + y \right]</math>
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| <math>\frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + \frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x} + 1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{2 - {q}^{x} - {q}^{y}}{1 - q}\neq \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q}</math>
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| 예상했겠지만 이렇게 해서는 계산이 안되네요.
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| 어떻게 하면 q-number의 덧셈을 할 수 있을까요?
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| <math>\frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + \frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q}</math>인데 1-q를 곱해서 분모를 제거하고 생각해보죠.
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| <math> 1 - {q}^{x} + 1 - {q}^{y} = 1 - {q}^{x + y}</math>
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| 일단 상수항 그러니까 그냥 숫자를 생각해보자구요. 양변의 상수항은 같아져야 하는데 좌변은 2이고 우변은 1이에요. 그리고 <math>-{q}^{x + y}</math>
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| 이 존재하기 위해서는 좌변에 이것이 있어야 해요. 그리고<math> - {q}^{x} - {q}^{y}</math>는 사라져야 하구요. 어때요? 감이 오시나요? 우변의 <math>-{q}^{x + y}</math>를 만들기 위해 <math>\frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} </math>에 <math>{q}^{x}</math>를 곱하는거죠! 이러면 <math>{q}^{x}</math>가 사라지고 상수항은 1이 되고 <math>-{q}^{x + y}</math>가 생길테니깐요!
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| 식으로 보자구요.
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| <math>\left[x \right] + {q}^{x}\left[y \right] = \left[x + y \right]</math>
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| <math>\frac{1 - {q}^{x}}{1 - q} + {q}^{x}\frac{1 - {q}^{y}}{1 - q} = \frac{1 - {q}^{x + y}}{1 - q}</math>
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| <math>1 - {q}^{x} + {q}^{x} - {q}^{x + y} = 1 - {q}^{x + y}</math>
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| 따라서 <math>\left[x \right] + {q}^{x}\left[y \right] = \left[x + y \right]</math> 입니다
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| ===q-number 의 곱셈===
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| ===q-number의 분수의 덧셈===
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| ===q-number 의 피타고라스의 정리=== | | ===q-number 의 피타고라스의 정리=== |
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| ==q-number 는 어디에 사용할 수 있을까요?== | | ==q-number 는 어디에 사용할수 있을까요?== |
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| {{각주}}
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| [[분류:수포자도 쉽게 알 수 있는 수학]]
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