| 최신판 |
당신의 편집 |
| 1번째 줄: |
1번째 줄: |
| 보통 [[실수]]는 0.12341289473248...같이 소숫점 아래로 이어지지 ...4859285 이렇게 왼쪽으로 나아가지 않는다. 그렇다면 이렇게 왼쪽으로 나아가는 수가 있을까?? ''p''가 [[소수]]고 ''p''진법으로 표현할 수 있으면 가능하다!! ''p''가 소수여야 하는 이유는 소수가 아니라면 ''0''이 아닌 어떤 숫자가 역원이 존재하지 않을 수도 있어서. | | {{학술 관련 정보}} |
| | |
| | == 소개 == |
| | 보통 실수는 0.12341289473248...같이 소숫점 아래로 이어지지 ...4859285 이렇게 왼쪽으로 나아가지 않는다. 그렇다면 이렇게 왼쪽으로 나아가는 수가 있을까?? ''p''가 소수고 ''p''진법으로 표현할 수 있으면 가능하다!! ''p''가 소수여야 하는 이유는 소수가 아니라면 ''0''이 아닌 어떤 숫자가 역원이 존재하지 않을 수도 있어서. |
|
| |
|
| 처음보면 생소할 수 있는 이 수체계는 정수론에서 아주 다방면으로 활용되는 쓸모있는 수체계이다. | | 처음보면 생소할 수 있는 이 수체계는 정수론에서 아주 다방면으로 활용되는 쓸모있는 수체계이다. |
|
| |
|
| ==간단 definition== | | ==간단 definition== |
| 우리는 실수를 정의할 때 유리수에서 점을 하나씩 채운다. 그리고 그 채우는 방법은 Cauchy sequence를 이용하거나, least upper bound property를 이용하든가. least upper property는 ordered field에서만 얘기할 수 있으므로 Cauchy sequence를 이용하자. | | 우리는 실수를 정의할 때 유리수에서 점을 하나씩 채운다. 그리고 그 채우는 방법은 Cauchy sequence를 이용하거나, least upper bound property를 이용하던가. least upper property는 ordered field에서만 얘기할 수 있으므로 Cauchy sequence를 이용하자. |
|
| |
|
| <math>\mathbb{Q}</math>에 norm이란 것을 준다. norm은 ''k''가 field일 때 | | <math>\mathbb{Q}</math>에 norm이란 것을 준다. norm은 ''k''가 field일 때 |
| 20번째 줄: |
23번째 줄: |
| <math> |x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2},|x_n-y_n|<\frac{\varepsilon}{2}</math> | | <math> |x_m-x_n|<\frac{\varepsilon}{2},|x_n-y_n|<\frac{\varepsilon}{2}</math> |
|
| |
|
| 이 되도록 하는 [[자연수]]들을 각각 <math> N_1,N_2</math>라고 하고 <math> \max\{N_1,N_2\}</math>를 생각하자. | | 이 되도록 하는 자연수들을 각각 <math> N_1,N_2</math>라고 하고 <math> \max\{N_1,N_2\}</math>를 생각하자. |
|
| |
|
| 우리는 <math> \mathbb{Q}</math>로 돌아오자. 어떤 숫자가 ''p''진법으로 표현했을 때 자릿수가 어떻게 되는지 표현할 수 있을까?? 대충 | | 우리는 <math> \mathbb{Q}</math>로 돌아오자. 어떤 숫자가 ''p''진법으로 표현했을 때 자릿수가 어떻게 되는지 표현할 수 있을까?? 대충 |
| 34번째 줄: |
37번째 줄: |
| <math> |x|_p=p^{-i}</math> | | <math> |x|_p=p^{-i}</math> |
|
| |
|
| 라고 정의하자. 그렇다면 이는 [[노름|norm]]의 조건을 모두 만족한다. 그리고 더 강력한 | | 라고 정의하자. 그렇다면 이는 norm의 조건을 모두 만족한다. 그리고 더 강력한 |
|
| |
|
| <math> |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\}</math> (이러한 성질을 만족하는 norm을 [[nonarchimedean norm]] 이라고 한다.) | | <math> |x+y|_p\le \max\{|x|_p,|y|_p\}</math> |
|
| |
|
| 도 만족한다. 그리고 우리는 실수를 정의하듯이 이렇게 정의하자. | | 도 만족한다. 그리고 우리는 실수를 정의하듯이 이렇게 정의하자. |
| 51번째 줄: |
54번째 줄: |
| 이렇게 정의할 수도 있다. ''n''이 자연수라면 | | 이렇게 정의할 수도 있다. ''n''이 자연수라면 |
|
| |
|
| <math> \mathbb{Z}/p^{n+1}\mathbb{Z}\longrightarrow \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> | | <math> \Bbb{Z}/p^{n+1}\Bbb{Z}\longrightarrow \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}</math> |
|
| |
|
| 를 | | 를 |
|
| |
|
| <math> x+p^{n+1}\mathbb{Z}\longmapsto x+p^n\mathbb{Z}</math> | | <math> x+p^{n+1}\Bbb{Z}\longmapsto x+p^n\Bbb{Z}</math> |
|
| |
|
| 로 정의하자. 이는 natural projection인데, 이는 자연스럽게 surjective homomorphism이 되고, | | 로 정의하자. 이는 natural projection인데, 이는 자연스럽게 surjective homomorphism이 되고, |
| <math> \mathbb{Z}_p=\varprojlim \mathbb{Z}/p^n\mathbb{Z}</math> | | |
| | <math> \Bbb{Z}_p=\varprojlim \Bbb{Z}/p^n\Bbb{Z}</math> |
|
| |
|
| 라고 정의하자. 이것은 integral domain이 된다. 그리고 <math> \Bbb{Q}_p </math>는 이것의 field of quotient라고 정의하자. 이것은 대수학에서 더욱 많이 쓰는 정의다. | | 라고 정의하자. 이것은 integral domain이 된다. 그리고 <math> \Bbb{Q}_p </math>는 이것의 field of quotient라고 정의하자. 이것은 대수학에서 더욱 많이 쓰는 정의다. |
| 68번째 줄: |
72번째 줄: |
|
| |
|
| == field extension == | | == field extension == |
| ''p''-adic number의 field extension은 적어도 <math>\mathbb{Q}</math>의 field extension보다는 훨씬 단순하지만 <math>\mathbb{R}</math>보단 복잡하다. <math>\mathbb{R}</math>의 field extension은 정말로 단순해서 algebraic closure가 degree 2 extension인 <math>\mathbb{C} </math>이고, 이것은 complete이기까지 하지만, 똑같은 completion인 <math> \mathbb{Q}_p</math>는 infinite algebraic extension이 있고, 그 algebraic closure는 complete가 아니다. 그리고 그걸 또 completion하면 다행히 algebraically closed field라는 성질은 유지되는데, locally compact가 아니라서 적분을 정의 못 한다는... 또 하나의 시련에 시달린다. 이 field를 <math>\mathbb{C}_p</math>라고 자주 쓰는데, 신기한 성질은 이것은 <math>\mathbb{C}</math>하고 field isomorphic하다는 것이다. 그러니까 다르게 completion했고 다른 길을 걸었지만 사실 복소수들의 집합과 <math> \mathbb{C}_p</math>는 완전히 같은 집합에 완전히 같은 field structure를 주고서 topology만 다르게 준 것이다. 그러니까 <math> \mathbb{C}_p</math>는 topology만 빼면 그냥 복소수 집합이다. | | ''p''-adic number의 field extension은 적어도 <math>\Bbb{Q}</math>의 field extension보다는 훨씬 단순하지만 <math>\Bbb{R}</math>보단 복잡하다. <math>\Bbb{R}</math>의 field extension은 정말로 단순해서 algebraic closure가 degree 2 extension인 <math>\Bbb{C} </math>이고, 이것은 complete이기까지 하지만, 똑같은 completion인 <math> \Bbb{Q}_p</math>는 infinite algebraic extension이 있고, 그 algebraic closure는 complete가 아니다. 그리고 그걸 또 completion하면 다행히 algebraically closed field라는 성질은 유지되는데, locally compact가 아니라서 적분을 정의 못 한다는... 또 하나의 시련에 시달린다. 이 field를 <math>\Bbb{C}_p</math>라고 자주 쓰는데, 신기한 성질은 이것은 <math>\Bbb{C}</math>하고 field isomorphic하다는 것이다. 그러니까 다르게 completion했고 다른 길을 걸었지만 사실 복소수들의 집합과 <math> \Bbb{C}_p</math>는 완전히 같은 집합에 완전히 같은 field structure를 주고서 topology만 다르게 준 것이다. 그러니까 <math> \Bbb{C}_p</math>는 topology만 빼면 그냥 복소수 집합이다. |
|
| |
|
| 사실 field extension이 이렇게 복잡한 것은 다행이라고 할 수 있는데, 이것은 <math> \mathbb{R}</math>의 field extension뿐만 아니라 finite field의 field extension보다도 복잡하다. 그 적당히 복잡하다는 성질로 <math>\mathbb{Q}</math>의 field extension의 성질을 더욱 더 많이 뽑을 수 있어서. <math>\mathbb{R}</math>처럼 단순했다면 수학자들 입장에선 너무 쉬울지 몰라도 그걸로 <math> \mathbb{Q}</math>에 대한 정보도 알아낼 수 없었을 것이다. | | 사실 field extension이 이렇게 복잡한 것은 다행이라고 할 수 있는데, 이것은 <math> \Bbb{R}</math>의 field extension뿐만 아니라 finite field의 field extension보다도 복잡하다. 그 적당히 복잡하다는 성질로 <math>\Bbb{Q}</math>의 field extension의 성질을 더욱 더 많이 뽑을 수 있어서. <math>\Bbb{R}</math>처럼 단순했다면 수학자들 입장에선 너무 쉬울지 몰라도 그걸로 <math> \Bbb{Q}</math>에 대한 정보도 알아낼 수 없었을 것이다. |
|
| |
|
| 사실 <math> \mathbb{R}</math>의 field extension이 이렇게나 단순한 이유는 ordered field라는 성질 때문인데, <math>\mathbb{Q}_p</math>의 field extension이 복잡한 건 당연한 걸지도 모르겠다. Ramification theory를 보면 <math>\mathbb{Q}_p</math>의 field extension은 당연히 복잡해야 한다. 안 그러면 <math> \mathbb{Q}</math>의 field extension부터 엄청 단순했을 것이다. | | 사실 <math> \Bbb{R}</math>의 field extension이 이렇게나 단순한 이유는 ordered field라는 성질 때문인데, <math>\Bbb{Q}_p</math>의 field extension이 복잡한 건 당연한 걸지도 모르겠다. Ramification theory를 보면 <math>\Bbb{Q}_p</math>의 field extension은 당연히 복잡해야 한다. 안 그러면 <math> \Bbb{Q}</math>의 field extension부터 엄청 단순했을 것이다. |
|
| |
|
| ==Ostrowski theorem== | | ==Ostrowski theorem== |
| Norm으로 만드는 <math> \mathbb{Q}</math>의 completion은 딱 두 가지라는 얘기다. <math>\mathbb{R} </math>하고 <math>\mathbb{Q}_p</math>. | | Norm으로 만드는 <math> \Bbb{Q}</math>의 completion은 딱 두 가지라는 얘기다. <math>\Bbb{R} </math>하고 <math>\Bbb{Q}_p</math>. 증명 [[추가바람|추가바람]] |
| | |
| 모든 유리수 <math> \mathbb{Q} </math> 의 비자명한 norm은 평범한 절댓값 <math> |\cdot|_{\infty} </math> 와 동치이거나, 소수 <math> p </math> 에 대한 ''p''-adic norm <math> |\cdot|_p </math> 와 동치이다.
| |
| | |
| === 정의 1. Trivial Norm ===
| |
| Trivial norm <math> | \cdot |_0 </math> 는 다음과 같이 정의된다.
| |
| | |
| <math>
| |
| \displaystyle
| |
| |a|_0 = \begin{cases}
| |
| 0 & \text{if}\ a = 0, \\
| |
| 1 & \text{if}\ a \neq 0
| |
| \end{cases}
| |
| </math>
| |
| | |
| === 정의 2. Norm 의 상등 ===
| |
| 두 norm <math> |\cdot|, |\cdot|' </math> 이 같다는 것은 한 norm 이 다른 norm의 거듭제곱으로 표현될 수 있다는 것이다.
| |
| | |
| === 증명 ===
| |
| 다음의 두 가지 경우에 대해 생각해보자.
| |
| | |
| Case 1. <math> \forall m \neq 0 \in \mathbb{Z}, |m| \leq 1 </math>
| |
| 이 경우 [[nonarchimedean norm]]의 첫번째 성질에 의해 이 norm은 nonarchimedean norm 이된다.
| |
| | |
| 만일 모든 영이 아닌 정수 <math> m </math> 에 대해 <math> |m|=1 </math> 이 성립한다면 이 norm이 trivial norm이 되는 것은 norm에 정의에 따라 자명하다. 그런데 우리는 자명하지 않은 norm을 다루고 있으므로 어떠한 영이 아닌 정수 <math> m </math> 이 존재하여 <math> |m| < 1 </math> 을 만족해야 한다. 그런데 norm에 정의에 따라 <math> |-1|=|1|=1 </math> 임을 얻고 이를 통해 모든 정수 m에 대해 <math> |m|=|-m| </math> 을 안다. 즉 양의 정수 <math> n </math> 이 존재하여 <math> |n|<1 </math> 을 만족해야 한다. 그런데 Well-Ordering Principle 에 의해 이러한 것을 만족하는 양의 정수의 최소원은 반드시 존재하게 된다. 그 최소원을 <math> n^* </math> 라 하자. 그러면 이것은 소수이여만 한다. 왜냐하면 이것이 소수가 아니면 <math> n^* = rs,\ r,s<n^* </math>인 양의 정수 <math> r,s </math> 가 존재하여 <math> |r||s| = |rs| = |n^*| < 1 \Rightarrow |r|<1\ \text{or}\ |s| < 1 </math> 을 함의하고 이것은 <math> n^* </math>가 최소원임에 모순이되기 때문이다.
| |
| | |
| 이제 <math> n^* </math>가 소수라는 것을 알았으니 <math> n^* </math> 대신 <math> p </math> 라고 하자. 이제 <math> m \in \mathbb{Z} </math> 이면서 <math> p \nmid m </math> 인 경우를 생각하자. 그러면 나머지 정리에 의해 적당한 정수 <math> q </math> 와 <math> 0 < r < p </math> 에 대해 <math> m = qp+r </math> 이라고 쓸 수 있다. 그리고 <math> m,q </math> 는 정수이므로 <math> |m|,|q| \leq 1 </math> 이며, <math> |p|<1 </math> 이므로 <math> |pq|<1 </math>이다. 그런데 <math> p </math> 는 <math> |p|<1 </math> 인 최소의 자연수이므로 <math> |r|=1 </math> 이어야 한다.
| |
| | |
| 또한, 이 norm은 non-archimedean 이므로 <math> 1=|r|=|m-pq| \leq \max\{|m|,|pq|\} </math> 이여야 한다. 이로부터 우리는 <math> p \nmid m </math> 이면 <math> |m|=1 </math> 을 얻는다.
| |
| | |
| 또한, 모든 정수 <math> n </math>은 소수 <math> p </math> 와 적당한 정수 <math> k \geq 0 </math> 그리고 정수 <math> p \nmid m </math> 에 대해 <math> n = p^k m </math> 라고 표현할 수 있으므로 <math> |n|=|p^k||m|=|p^k|=|p|^k </math> 가 된다. 이로부터 모든 정수 <math> n </math>에 대해 <math> |\cdot| </math>이 <math> |\cdot|_p </math> 와 상등임을 알 수 있고, norm의 정의에 의해 모든 유리수 <math> q </math>에 대해서도 상등이 된다는 것을 알 수 있다.
| |
| | |
| Case 2. <math> \exists x \in \mathbb{Z}, |x|>1 </math>
| |
| 일단 이 경우 1이나 -1이 아닌 모든 정수 <math> y </math> 에 대해 <math> |y| > 1</math> 임을 보이자.
| |
| 그렇지 않다고 가정하고 그러한 정수를 <math> y_0 </math> 라 하자. 그러면 <math> |-1|=|1|=1 </math> 이므로 일반성을 잃지 않고 <math> y_0 > 1 </math> 이라 할 수 있다.
| |
| 이제 <math> |x|>1 </math> 을 만족하는 양의 정수 <math> x_0 </math> 의 거듭제곱 <math> x^n_0 </math> 를 <math> y_0 </math>를 이용해서 표현한다고 하자. 그러면 적당한 음이아닌 정수 <math> m </math> 과 <math> 0 \leq c_i \leq y-1 </math>, where <math> c_m \neq 0 </math> 가 존재하여
| |
| | |
| <math>
| |
| \displaystyle
| |
| x^n = c_m y^m + \dotsc + c_0
| |
| </math>
| |
| 라고 표현할 수 있으므로 이로부터 <math> y^m \leq c_m y^m + \dotsc + c_0 = x^n \Rightarrow m \leq \frac{n \log x}{\log y} </math> 임을 얻는다.
| |
| 또한, 삼각부등식에 의해
| |
| | |
| <math>
| |
| \begin{align}
| |
| |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0 | \\
| |
| &\leq |c_m||y^m| + \dotsc + |c_0| \\
| |
| &\leq |c_m| + \dotsc + |c_0| && \text{($\because$, $|y|\leq 1$)} \\
| |
| &\leq m+1M \leq M \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right) && M={max}\{|1|,\dotsc,|y-1|\}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| 이 성립한다. <math> |x| >1 </math> 이므로 위의 부등식이 성립하지 않는 적당히 큰 자연수 <math> n_0 </math> 가 존재하게 된다. 이것은 위의 부등식이 모든자연수 <math> n </math> 에 대해 성립한다는 것에 모순이므로, 우리는 1이나 -1이 아닌 음이 아닌 모든 정수 <math> y </math> 에 대해 <math> |y|>1</math> 임을 얻는다.
| |
| | |
| 즉 <math> |y|>1 </math> 이므로
| |
| | |
| <math>
| |
| \begin{align}
| |
| |x|^n &= |x^n| = |c_m y^m + \dotsc + c_0| \\
| |
| &\leq (m+1)M|y|^m \\
| |
| &\leq \left ( \frac{n\log x}{\log y}+1 \right)M |y|^{\frac{n\log x}{\log y}}
| |
| \end{align}
| |
| </math>
| |
| | |
| 이 식의 양변을 <math> n </math> 제곱근한 뒤, <math> n \rightarrow \infty </math> 하면
| |
| <math>
| |
| \displaystyle
| |
| |x| \leq |y|^{\frac{\log x}{\log y}} \Rightarrow |x|^{\frac{1}{\log x}} \leq |y|^{\frac{1}{\log y}}
| |
| </math>
| |
| 를 얻으며 대칭성에 의해 등호의 역도 성립하므로
| |
| <math>
| |
| \displaystyle
| |
| |x|^{\frac{1}{\log x}} = |y|^{\frac{1}{\log y}}
| |
| </math>
| |
| 가 성립한다.
| |
| | |
| 이로부터 모든 정수 <math> x </math> 에 대해 <math> |\cdot| </math> 이 <math> |\cdot|_{\infty} </math> 와 상등임을 얻으며, norm에 정의에 의해 모든 유리수에 대해서도 상등임을 얻는다.
| |
| | |
| Case1, Case 2의 결과로부터 우리는 유리수 <math> \mathbb{Q} </math> 의 norm은 ''p''-adic norm 과 상등이거나 일반적인 절댓값과 상등이라는 것을 얻는다.
| |
| | |
| ==일반적인 number field로의 일반화==
| |
| Number field <math> K </math>의 모든 비자명한 nonarchimedean norm 은 다음과 동치이다.
| |
| | |
| <math>
| |
| \displaystyle
| |
| |x|_{\mathfrak{p}} = c^{v_{\mathfrak{p}}(x)},
| |
| </math>
| |
| 여기서 <math> \mathfrak{p} </math> 는 0이 아닌 <math> \mathbb{Z}_K </math>의 소 아이디얼이며 <math> v_{\mathfrak{p}} (x) </math>는 <math> x \in \mathbb{Z}_K </math> 에 대해 <math> x \in \mathfrak{p}^m </math> 을 만족하는 최대의 정수 <math> m </math>으로 정의되고, 0이 아닌 일반적인 number field <math> K </math> 의 원소에 대해서 이러한 정의를 곱셈적으로 확장한 것이다.
| |
| | |
| === 증명 ===
| |
| (추가예정)
| |
| | |
| == 참고문헌 또는 관련 책들 ==
| |
| [1] Frazer Jarvis, "Algebraic Number Theory", Springer, Ch 10
| |
| | |
| [2] Jean-Pierre Serre, "A Course in Arithmetic", Springer
| |
| | |
| [3] Serge Lang, "Algebra", Revised 3rd Ed, Springer
| |
| | |
|
| |
|
| {{각주}}
| | == 레퍼런스 == |
| [[분류:수학]]
| | * 독자연구 |
