편집을 취소할 수 있습니다. 이 편집을 되돌리려면 아래의 바뀐 내용을 확인한 후 게시해주세요.
최신판 | 당신의 편집 | ||
1번째 줄: | 1번째 줄: | ||
[[분류:수학]] | [[분류:수학]] | ||
== 개요 == | == 개요 == | ||
'''0.999... = 1'''은 사람들이 흔히 ''수학계의 영원한 떡밥''이라고 착각하는 | '''0.999... = 1'''은 사람들이 흔히 ''수학계의 영원한 떡밥''이라고 착각하는 '''참'''인 명제 중 하나이다. 가끔 [[evergreenc]] 같은 [[유사수학자]]들이 이를 말도 안 되는 논리를 들어 거짓이라고 설명<s>증명</s>하고는 한다. | ||
== 실수의 십진 표현 == | == 실수의 십진 표현 == | ||
{{ | {{참조|소수 (실수)}} | ||
먼저 실수의 십진 표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1 이하의 실수 <math>a\in [0, 1]</math>에 대하여 어떤 수열 <math>\{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N)</math>이 존재하여 <math>a = \sum_i a_i 10^{-i}</math>일 때 <math>a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots}</math>로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 <math>x = \lfloor x \rfloor + a</math>에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다. | 먼저 실수의 십진 표현에 대하여 알아보자. 어떤 0 이상 1 이하의 실수 <math>a\in [0, 1]</math>에 대하여 어떤 수열 <math>\{a_n\} \; (a_n = 0, 1, \cdots ,9 \text{ for }n\in\mathbb N)</math>이 존재하여 <math>a = \sum_i a_i 10^{-i}</math>일 때 <math>a=. \overline{a_1 a_2 a_3 \cdots}</math>로 표시하는 것이다. 그외의 범위에 대해서는 <math>x = \lfloor x \rfloor + a</math>에서 정의된다. 즉, 우리가 알고 있던 무한소수는 사실 무한급수이다. | ||
== | == 증명? == | ||
=== | |||
=== 1 === | |||
<blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;"> | <blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;"> | ||
{| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;" | {| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;" | ||
14번째 줄: | 15번째 줄: | ||
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | ||
| style="padding:16px; text-align:left;" | | | style="padding:16px; text-align:left;" | | ||
1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000... <br />1.000...에서 0.999...를 뺀다.<br />그 결과는 0.000...<br />소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.<br />즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.<br />그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다. | 1은 1.000...과 같다. 즉 1=1.000... <br/>1.000...에서 0.999...를 뺀다.<br/>그 결과는 0.000...<br/>소수점 아래로 0이 무한 개가 나온다.<br/>즉 1에서 0.999...를 뺀 건 0이랑 별 차이 없다고 볼 수 있다.<br/>그래서 0.999...는 1과 별 차이 없다. | ||
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | ||
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” | |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” | ||
23번째 줄: | 24번째 줄: | ||
''별 차이 없다''와 ''같다''는 완전히 다르다. 별 차이 없어도 같지 않을 수 있으며, 별 차이 없음의 기준이 모호하기도 하다. 물론 1 - 0.99... = 0이다. | ''별 차이 없다''와 ''같다''는 완전히 다르다. 별 차이 없어도 같지 않을 수 있으며, 별 차이 없음의 기준이 모호하기도 하다. 물론 1 - 0.99... = 0이다. | ||
=== | === 2 === | ||
1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다. | 1÷9를 연필과 종이를 가지고 직접 계산하던지, 아니면 계산기를 꺼내어 실행해보자. 몇이 나오는가? 0.111… 이다. 즉, 0.111…=1/9이다. | ||
* 0.111… = 1/9 | * 0.111… = 1/9 | ||
* 9 * 0.111… = 9 * 1/9 | * 9 * 0.111… = 9 * 1/9 | ||
* 0.999… = 1 | * 0.999… = 1 | ||
=== 3 === | |||
{{ㅊ|0.999...는 반올림 했을때 1이므로 0.999... = 1이다.}} | {{ㅊ|0.999...는 반올림 했을때 1이므로 0.999... = 1이다.}} | ||
40번째 줄: | 42번째 줄: | ||
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | ||
| style="padding:16px; text-align:left;" | | | style="padding:16px; text-align:left;" | | ||
0.999...를 x라 하자. <br />x = 0.999...<br />10x=9.999...<br />10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,<br />9x = 9, x=1<br />따라서 0.999...는 1이 된다. | 0.999...를 x라 하자. <br/>x = 0.999...<br/>10x=9.999...<br/>10x - x = 9.999... - 0.999...이므로,<br/>9x = 9, x=1<br/>따라서 0.999...는 1이 된다. | ||
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | ||
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” | |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:right;" | ” | ||
47번째 줄: | 49번째 줄: | ||
|}</blockquote> | |}</blockquote> | ||
=== | 중학교 교과과정에서 이런 식(2, 3)의 증명을 하지만, 이런 논리를 펼치면 9x = 0.8999...1이라는 사람이 꼭 나타나게 된다. 물론 ''무한''소수의 의미를 안다면 이런 주장은 하지 못할 것이다. '''무한소수에는 끝 자리 숫자라는 것이 존재하지 않는다.''' | ||
== 증명 == | |||
=== 1 === | |||
<blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;"> | <blockquote style="padding: 0; border: 0; font-size: inherit; margin: 1em 40px; text-align:center;"> | ||
{| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;" | {| style="border-collapse:collapse; border-style:none; background-color:#F8F8F8;display:inline-block;" | ||
55번째 줄: | 59번째 줄: | ||
|#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | |#default=40px}};font-family:Georgia;font-weight:bold;text-align:left;" | “ | ||
| style="padding:16px; text-align:left;" | | | style="padding:16px; text-align:left;" | | ||
0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 <math>\frac{1}{10}</math>인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서<br /> | 0.999...는 초항이 0.9이고 공비가 <math>\frac{1}{10}</math>인 무한등비급수로 볼 수 있다. 따라서<br/> | ||
<div align=center><math> | <div align=center><math>0.999\cdots = \lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{9}{10} \right )\left ( \frac{1}{10} \right )^k=\frac{9}{10}\lim_{n\rightarrow \infty }\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k</math></div> | ||
여기서 우변의 <math> | 여기서 우변의 <math>\sum_{k=1}^{n}\left ( \frac{1}{10} \right )^k</math>는 첫째항이 1이고 공비가 <math>\frac{1}{10}</math>인 등비수열 <math>\{a_n\}</math>의 급수이므로<br /> | ||
<div align=center><math> | <div align=center><math> a_{n}=10^{-n}, \; \lim \sum_{k=1}^{n} a_k=\lim \frac{10-10^{-n+1}}{9} = \frac{10}9,</math></div><br /> | ||
<div align=center><math> | <div align=center><math>\frac{9}{10}\times \frac{10}{9}=1</math></div> | ||
이다. | 이다. | ||
| style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | | style="color:#707070; width: 20px; vertical-align: bottom; font-size:{{#switch:{{{따옴표크기|{{{5|20px}}}}}} | ||
67번째 줄: | 71번째 줄: | ||
|}</blockquote> | |}</blockquote> | ||
고교 과정에서 배우는 등비급수를 이용한 증명이다. 이때 이 급수의 수렴성은 자명하므로 옳은 증명이 된다. [[엡실론-델타 논법|<s>수렴성 보여주세요</s>]] | |||
<s>첫째항이 a1인데 10^(-1)이면 -0.1 아닌가?</s><ref><math>{10}^{-1}</math>은 0.1이다.</ref> | |||
0. | |||
{{주석}} | |||
== 같이 보기 == | == 같이 보기 == | ||
* [[0으로 나누기]] | * [[0으로 나누기]] | ||