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{{ | {{학술}} | ||
[[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space) | {{토막글}} | ||
== 정의 == | |||
[[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)'''이라고 한다. | |||
== 예시 == | == 예시 == | ||
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* 하우스도르프 공간에서 [[수열의 극한|수렴하는 점열]]의 극한값은 유일하다. | * 하우스도르프 공간에서 [[수열의 극한|수렴하는 점열]]의 극한값은 유일하다. | ||
하우스도르프 공간 ''X''에서 수렴하는 점열 <math>(x_n)</math>의 서로 다른 극한값이 <math>a,b</math>라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 [[서로소]]인 <math>O_a,O_b\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in O_a , b\in O_b</math>이다. 그리고 <math>(x_n)</math>이 수렴하므로 <math>N_a,N_b\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 임의의 자연수 <math>n > N_a , n > N_b </math>에 대해 <math>x_n \in O_a , x_n \in O_b</math>이므로 <math>n > \max\{N_a,N_b\}</math>에 대해 <math>x_n \in O_a \cap O_b</math>이다. 그런데 <math>O_a, O_b</math>가 서로소이므로 <math>O_a \cap O_b = \emptyset</math>이고, 원소가 [[공집합]]에 포함된다는 것은 [[모순]]이다. 따라서 <math>(x_n)</math>의 극한값이 둘 이상일 수는 없다. | 하우스도르프 공간 ''X''에서 수렴하는 점열 <math>(x_n)</math>의 서로 다른 극한값이 <math>a,b</math>라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 [[서로소]]인 <math>O_a,O_b\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in O_a , b\in O_b</math>이다. 그리고 <math>(x_n)</math>이 수렴하므로 <math>N_a,N_b\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 임의의 자연수 <math>n > N_a , n > N_b </math>에 대해 <math>x_n \in O_a , x_n \in O_b</math>이므로 <math>n > \max\{N_a,N_b\}</math>에 대해 <math>x_n \in O_a \cap O_b</math>이다. 그런데 <math>O_a, O_b</math>가 서로소이므로 <math>O_a \cap O_b = \emptyset</math>이고, 원소가 [[공집합]]에 포함된다는 것은 [[모순]]이다. 따라서 <math>(x_n)</math>의 극한값이 둘 이상일 수는 없다. | ||
[[분류:위상수학]] | [[분류:위상수학]] |