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| {{분리공리}} | | {{학술}} |
| [[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)''', 또는 '''T<sub>2</sub> 공간'''이라고 한다. | | {{토막글}} |
| | == 정의 == |
| | [[위상공간]] ''X''의 서로 다른 임의의 점 <math>a,b\in X</math>에 대해 [[서로소]]인 [[열린 집합]] <math>U,V\subset X</math>가 존재해 <math>a\in U, b\in V</math>이면 ''X''를 '''하우스도르프 공간(Hausdorff space)'''이라고 한다. |
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| == 예시 == | | == 예시 == |
| * 모든 [[거리공간]]은 하우스도르프 공간이다. | | * 모든 [[거리공간]]은 하우스도르프 공간이다. |
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| == 성질 ==
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| * 하우스도르프 공간에서 [[수열의 극한|수렴하는 점열]]의 극한값은 유일하다.
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| 하우스도르프 공간 ''X''에서 수렴하는 점열 <math>(x_n)</math>의 서로 다른 극한값이 <math>a,b</math>라고 가정하자. 그러면 하우스도르프 공간의 정의에 의해 [[서로소]]인 <math>O_a,O_b\subseteq X</math>가 존재해 <math>a\in O_a , b\in O_b</math>이다. 그리고 <math>(x_n)</math>이 수렴하므로 <math>N_a,N_b\in\mathbb{N}</math>이 존재하여 임의의 자연수 <math>n > N_a , n > N_b </math>에 대해 <math>x_n \in O_a , x_n \in O_b</math>이므로 <math>n > \max\{N_a,N_b\}</math>에 대해 <math>x_n \in O_a \cap O_b</math>이다. 그런데 <math>O_a, O_b</math>가 서로소이므로 <math>O_a \cap O_b = \emptyset</math>이고, 원소가 [[공집합]]에 포함된다는 것은 [[모순]]이다. 따라서 <math>(x_n)</math>의 극한값이 둘 이상일 수는 없다.
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| * 하우스도르프 공간이 되는 성질은 [[위상적 성질]]이다.
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| 위상공간 <math>X</math>가 하우스도르프 공간이고 <math>Y</math>가 위상공간이며, <math>f:X\to Y</math>는 [[위상동형사상]]이라고 하자. 그러면 임의의 <math>y_1,y_2\in Y</math>에 대해 <math>f^{-1}</math>이 존재하므로 <math>f^{-1}(y_1),f^{-1}(y_2)\in X</math>가 존재한다. <math>y_1\ne y_2</math>이면 <math>f^{-1}</math>이 일대일 함수이기 때문에 <math>f^{-1}(y_1)\ne f^{-1}(y_2)</math>이므로 하우스도르프 공간의 정의에 의해 열린 집합 <math>U,V\in X</math>가 존재해 <math>f^{-1}(y_1)\in U,f^{-1}(y_2)\in V</math>이고 <math>U \cap V=\emptyset</math>이다. 그러면 <math>y_1=f(f^{-1}(y_1))\in f(U)</math>이고 <math>y_2=f(f^{-1}(y_2))\in f(V)</math>이다. <math>f^{-1}</math>이 연속이므로, <math>f</math>는 [[열린 사상]]이고 따라서 <math>f(U),f(V)</math>는 열린 집합이다. <math>y'\in f(U)\cap f(V)</math>인 <math>y'\in Y</math>가 존재한다고 가정하자. 그러면 <math>y'\in f(U)</math>이고 <math>y'\in f(V)</math>이므로 <math>y'=f(x_U),y'=f(x_V)</math>인 <math>x_U\in U, x_V\in V</math>가 존재하고, <math>U,V</math>가 서로소이므로 <math>x_U\ne x_V</math>이다. 즉 <math>f</math>가 일대일 함수라는 것에 모순이므로 <math>f(U)\cap f(V)=\emptyset</math>이어야 한다. 따라서 원하는 결론을 얻는다.
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| * 하우스도르프 공간이 되는 성질은 [[계승적 성질]]이다.
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| 하우스도르프 공간 <math>X</math>의 [[부분공간 위상|부분공간]]을 <math>A</math>라고 하자. 그러면 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대해 서로소인 열린 집합 <math>U,V</math>가 존재해 <math>a\in U,b\in V</math>이다. 그러면 임의의 <math>a,b\in A</math>에 대해 <math>U\cap A,V\cap A</math>는 <math>A</math>에서 서로소인 열린 집합이고 <math>a\in U\cap A,b\in V\cap A</math>이다. 따라서 <math>A</math>는 하우스도르프 공간이다.
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| [[분류:위상수학]] | | [[분류:위상수학]] |
