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{{학문 관련 정보}} | |||
== 개요 == | == 개요 == | ||
고대 [[그리스]]의 [[수학자]]인 [[피타고라스]]의 이름을 따서 지은 [[정리]]인 '''피타고라스 정리(Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem)'''는 [[유클리드 공간]]에서 [[직각삼각형]]에서 성립하는 식을 담고 있다. 빗변의 길이를 <math>c</math>라고 하고, 다른 두 변의 길이를 <math>a,b</math>라고 했을 때, | 고대 [[그리스]]의 [[수학자]]인 [[피타고라스]]의 이름을 따서 지은 [[정리]]인 '''피타고라스 정리(Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem)'''는 [[유클리드 공간]]에서 [[직각삼각형]]에서 성립하는 식을 담고 있다. 빗변의 길이를 <math>c</math>라고 하고, 다른 두 변의 길이를 <math>a,b</math>라고 했을 때, | ||
:: <math>\displaystyle{a^2 + b^2 = c^2}</math> | :: <math>\displaystyle{a^2 + b^2 = c^2}</math> | ||
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이 정리는 피타고라스가 활동하던 고대 그리스 시대 이전부터 잘 알려져 있었다. 한 기록에는 피타고라스가 발견하기 한참 전에 고대 중국에서 이 정리를 알고 있었다는 내용도 있다. 다만, 피타고라스의 이름을 따 지은 것은 피타고라스가 정리를 처음으로 '''증명'''했기 때문이다. | 이 정리는 피타고라스가 활동하던 고대 그리스 시대 이전부터 잘 알려져 있었다. 한 기록에는 피타고라스가 발견하기 한참 전에 고대 중국에서 이 정리를 알고 있었다는 내용도 있다. 다만, 피타고라스의 이름을 따 지은 것은 피타고라스가 정리를 처음으로 '''증명'''했기 때문이다. | ||
==증명== | ==증명== | ||
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그림에서 <math>\triangle ABC \equiv \triangle BEQ \equiv \triangle DER \equiv \triangle CDP</math>이고 <math>\Box BCDE</math>는 정사각형이다. 따라서 <math>\Box APRQ = 4 \triangle ABC + \Box BCDE</math>이고 이를 <math>a, b, c</math>로 나타내면 <math>(a+b)^2=c^2+4\times{ab \over 2}</math>. 괄호를 풀고 분수를 정리하면 <math>a^2+2ab+b^2=c^2+2ab</math>, 양변에서 <math>2ab</math>를 빼면 <math>a^2+b^2=c^2</math>, 피타고라스의 정리가 된다. | 그림에서 <math>\triangle ABC \equiv \triangle BEQ \equiv \triangle DER \equiv \triangle CDP</math>이고 <math>\Box BCDE</math>는 정사각형이다. 따라서 <math>\Box APRQ = 4 \triangle ABC + \Box BCDE</math>이고 이를 <math>a, b, c</math>로 나타내면 <math>(a+b)^2=c^2+4\times{ab \over 2}</math>. 괄호를 풀고 분수를 정리하면 <math>a^2+2ab+b^2=c^2+2ab</math>, 양변에서 <math>2ab</math>를 빼면 <math>a^2+b^2=c^2</math>, 피타고라스의 정리가 된다. | ||
[[파일: | [[파일:피타고라스 정리 1.png|가운데|400픽셀]] | ||
직각삼각형의 배열을 이용하는 방법도 있다. 양 그림에서 흰색 부분에 해당하는 넓이는 같다. 이 흰색 부분에 해당하는 넓이는 다른 [[직각삼각형]] 네 개를 어떻게 배열하냐에 따라 다르게 표현할 수 있는데, 왼쪽에서는 <math>c^2</math>, 오른쪽에서는 <math>a^2+b^2</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2=c^2</math> | 직각삼각형의 배열을 이용하는 방법도 있다. 양 그림에서 흰색 부분에 해당하는 넓이는 같다. 이 흰색 부분에 해당하는 넓이는 다른 [[직각삼각형]] 네 개를 어떻게 배열하냐에 따라 다르게 표현할 수 있는데, 왼쪽에서는 <math>c^2</math>, 오른쪽에서는 <math>a^2+b^2</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2=c^2</math> | ||
===유클리드=== | ===유클리드=== | ||
[[파일: | [[파일:피타고라스 정리 2.png|가운데|200픽셀]] | ||
각 변의 제곱은 그 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형으로 나타낼 수 있다. 위 그림에서, <math>S_{\triangle{AFB}}=S_{\triangle{FCB}}=S_{\triangle{ABD}}=S_{\triangle{BKD}}</math>이고, 같은 방법으로 <math>S_{\triangle{ACI}}=S_{\triangle{CKE}}</math>를 보일 수 있다 (평행한 두 선 사이의 밑변의 길이가 같은 삼각형은 넓이가 모두 같다는 | 각 변의 제곱은 그 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형으로 나타낼 수 있다. 위 그림에서, <math>S_{\triangle{AFB}}=S_{\triangle{FCB}}=S_{\triangle{ABD}}=S_{\triangle{BKD}}</math>이고, 같은 방법으로 <math>S_{\triangle{ACI}}=S_{\triangle{CKE}}</math>를 보일 수 있다 (평행한 두 선 사이의 밑변의 길이가 같은 삼각형은 넓이가 모두 같다는 사실을 이용한다). 이걸 식으로 나타내면 <math>\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2</math>이고, 따라서 <math>a^2+b^2=c^2</math>이다. | ||
참고로 이 방법은 대부분의 교과서에도 나와있는 대표적인 방법. | 참고로 이 방법은 대부분의 교과서에도 나와있는 대표적인 방법. | ||
===가필드=== | ===가필드=== | ||
[[파일:피타고라스 정리 3.png|가운데|200픽셀]] | [[파일:피타고라스 정리 3.png|가운데|200픽셀]] | ||
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== 피타고라스 수 == | == 피타고라스 수 == | ||
[[자연수]] 중에서 피타고라스 정리를 만족하는 세 수를 피타고라스 수라고 한다. 즉, 직각삼각형을 만드는 자연수 길이의 세 쌍이다. 가장 작은 피타고라스 수는 <math>(3,4,5)</math>이다. 세 수는 다음과 같이 3개의 자연수로 유일하게 나타낼 수 있다. | [[자연수]] 중에서 피타고라스 정리를 만족하는 세 수를 피타고라스 수라고 한다. 즉, 직각삼각형을 만드는 자연수 길이의 세 쌍이다. 가장 작은 피타고라스 수는 <math>(3,4,5)</math>이다. 세 수는 다음과 같이 3개의 자연수로 유일하게 나타낼 수 있다. | ||
:: <math>a = k \cdot (m^2 - n^2) , b = k \cdot (2mn) , c = k \cdot (m^2 + n^2)</math> | :: <math>a = k \cdot (m^2 - n^2) , b = k \cdot (2mn) , c = k \cdot (m^2 + n^2)</math> | ||
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<math> (9, 40, 41), (12, 35, 37), (36, 77, 85), (65, 72, 97) </math> | <math> (9, 40, 41), (12, 35, 37), (36, 77, 85), (65, 72, 97) </math> | ||
이외에도 <math> (6, 8, 10), (9, 12, 15) </math>와 같이 피타고라스 수에 자연수를 곱해도 피타고라스 수이고, 원래 삼각형과 닮음이다 | 이외에도 <math> (6, 8, 10), (9, 12, 15) </math>와 같이 피타고라스 수에 자연수를 곱해도 피타고라스 수이고, 원래 삼각형과 닮음이다. | ||
== 여담 == | == 여담 == | ||
피타고라스 학파는 [[유리수]]만이 수의 전부라고 믿었다. 그런데, 피타고리스 학파의 한 학자인 히파수스가 짧은 두 변이 1이면 빗변의 길이가 <math>\sqrt{2}</math>인데, 이 수는 유리수가 아니다는 사실을 알아챘고, 피타고라스 학파는 혼란에 빠졋다. 이후 이 말을 들은 피타고라스는 자신이 믿고 있는 이치에 맞지 않다고 여겨 히파수스를 죽였다느니, 히파수스가 세상에 [[무리수]]의 존재를 알리려다가 암살당했다느니 하는 이야기가 있는 반면, 히파수스가 피타고라스 학파의 신념을 지키기 위해 자살했다는 얘기도 있다. {{ㅊ| | 피타고라스 학파는 [[유리수]]만이 수의 전부라고 믿었다. 그런데, 피타고리스 학파의 한 학자인 히파수스가 짧은 두 변이 1이면 빗변의 길이가 <math>\sqrt{2}</math>인데, 이 수는 유리수가 아니다는 사실을 알아챘고, 피타고라스 학파는 혼란에 빠졋다. 이후 이 말을 들은 피타고라스는 자신이 믿고 있는 이치에 맞지 않다고 여겨 히파수스를 죽였다느니, 히파수스가 세상에 [[무리수]]의 존재를 알리려다가 암살당했다느니 하는 이야기가 있는 반면, 히파수스가 피타고라스 학파의 신념을 지키기 위해 자살했다는 얘기도 있다. {{ㅊ|아 몰랑! 유리수 빼곤 다 수가 아니야!}} 하지만 어느쪽이든 진실은 불명이며, 심지어는 히파수스가 무리수를 발견했다는 사실이 맞는지도 의문에 싸여있다. | ||
중학교 수학에서는 그 중요성으로 인해 아예 단원 하나를 차지하고 있다. | 중학교 수학에서는 그 중요성으로 인해 아예 단원 하나를 차지하고 있다. | ||
[[분류:수학 정리]] [[분류:기하학]] | [[분류:수학 정리]] [[분류:기하학]] | ||