피타고라스 정리 편집하기


== 개요 ==
고대 [[그리스]]의 [[수학자]]인 [[피타고라스]]의 이름을 따서 지은 [[정리]]인 '''피타고라스 정리(Pythagorean theorem, Pythagoras' theorem)'''는 [[유클리드 공간]]에서 [[직각삼각형]]에서 성립하는 식을 담고 있다. 빗변의 길이를 <math>c</math>라고 하고, 다른 두 변의 길이를 <math>a,b</math>라고 했을 때,
:: <math>\displaystyle{a^2 + b^2 = c^2}</math>

이 성립한다.

이 정리는 피타고라스가 활동하던 고대 그리스 시대 이전부터 잘 알려져 있었다. 한 기록에는 피타고라스가 발견하기 한참 전에 고대 중국에서 이 정리를 알고 있었다는 내용도 있다. 다만, 피타고라스의 이름을 따 지은 것은 피타고라스가 정리를 처음으로 '''증명'''했기 때문이다.

이 정리는 물론 여러 의미가 있지만, 넓이는 길이의 제곱에 비례한다는 의미와 유클리드 공간에서는 직각삼각형으로 거리가 주어진다는 의미가 주된 의미이다.

==증명==
매우 간단한 식인 만큼, 증명도 수백가지가 넘는다. 여기에 그 많은 방법을 다 적을 순 없으니 대표적인 몇 가지만 기술한다.

===피타고라스===
피타고라스의 방법은 두 가지가 있다.
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그림에서 <math>\triangle ABC \equiv \triangle BEQ \equiv \triangle DER \equiv \triangle CDP</math>이고 <math>\Box BCDE</math>는 정사각형이다. 따라서 <math>\Box APRQ = 4 \triangle ABC + \Box BCDE</math>이고 이를 <math>a, b, c</math>로 나타내면 <math>(a+b)^2=c^2+4\times{ab \over 2}</math>. 괄호를 풀고 분수를 정리하면 <math>a^2+2ab+b^2=c^2+2ab</math>, 양변에서 <math>2ab</math>를 빼면 <math>a^2+b^2=c^2</math>, 피타고라스의 정리가 된다.

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직각삼각형의 배열을 이용하는 방법도 있다. 양 그림에서 흰색 부분에 해당하는 넓이는 같다. 이 흰색 부분에 해당하는 넓이는 다른 [[직각삼각형]] 네 개를 어떻게 배열하냐에 따라 다르게 표현할 수 있는데, 왼쪽에서는 <math>c^2</math>, 오른쪽에서는 <math>a^2+b^2</math>이다. 따라서 <math>a^2+b^2=c^2</math>

===유클리드===
[[파일:피타고라스 정리 2.png|가운데|200픽셀]]

각 변의 제곱은 그 변의 길이를 한 변으로 하는 정사각형으로 나타낼 수 있다. 위 그림에서, <math>S_{\triangle{AFB}}=S_{\triangle{FCB}}=S_{\triangle{ABD}}=S_{\triangle{BKD}}</math>이고, 같은 방법으로 <math>S_{\triangle{ACI}}=S_{\triangle{CKE}}</math>를 보일 수 있다 (평행한 두 선 사이의 밑변의 길이가 같은 삼각형은 넓이가 모두 같다는 사실을 이용한다). 이걸 식으로 나타내면 <math>\frac{1}{2}a^2+\frac{1}{2}b^2=\frac{1}{2}c^2</math>이고, 따라서 <math>a^2+b^2=c^2</math>이다.

참고로 이 방법은 대부분의 교과서에도 나와있는 대표적인 방법.

===바스카라===
[[파일:피타고라스 정리 5.png|700px|가운데]]
직관적으로 알 수 있는 가장 쉬운 방법이다. 첫 번째 그림은 밑변이 <math>a</math>, 높이가 <math>b</math>인 직각삼각형 4개와 한 변의 길이가 <math>b-a</math>인 정사각형으로 구성된 한 변이 <math>c</math>이고 넓이가 <math>c^2</math>인 정사각형이다. 그리고 직각삼각형을 재배치하면 두 번째 그림처럼 되는데 이는 세 번째 그림에서 알 수 있듯이 넓이가 <math>a^2</math>인 정사각형과 넓이가 <math>b^2</math>인 정사각형 두 개인 것을 알 수 있다. 앞서 재배치하기 전의 정사각형이 <math>c^2</math>이고 이를 재배치한 것이 <math>a^2+b^2</math>이니 <math>c^2=a^2+b^2</math>이다.
===가필드===
[[파일:피타고라스 정리 3.png|가운데|200픽셀]]

위 [[사다리꼴]]의 넓이는 <math>\frac{1}{2}\left(a+b\right)\left(a+b\right)=\frac{a^2+b^2+2ab}{2}</math>이다. 한편, 넓이를 세 [[직각삼각형]]의 넓이의 합으로도 나타낼 수 있는데, 이 경우 <math>2\cdot\frac{1}{2}ab+\frac{1}{2}c^2=ab+\frac{c^2}{2}</math>이다. 곧, <math>\frac{a^2+b^2+2ab}{2}=ab+\frac{c^2}{2}</math>이고, 정리하면 <math>a^2+b^2=c^2</math>이다.

== 피타고라스 수 ==
[[자연수]] 중에서 피타고라스 정리를 만족하는 세 수를 피타고라스 수라고 한다. 즉, 직각삼각형을 만드는 자연수 길이의 세 쌍이다. 가장 작은 피타고라스 수는 <math>(3,4,5)</math>이다. 세 수는 다음과 같이 3개의 자연수로 유일하게 나타낼 수 있다.
:: <math>a = k \cdot (m^2 - n^2) , b = k \cdot (2mn) , c = k \cdot (m^2 + n^2)</math>

단, <math>n \lt m</math>이고, <math>m-n</math>가 홀수이며, <math>m,n</math>은 서로소이다.

다음은 몇 가지 피타고라스 수를 나열한 것이다.

<math> (3, 4, 5), (11, 60, 61), (16, 63, 65) </math>

<math> (33, 56, 65), (5, 12, 13), (13, 84, 85) </math>

<math>(20, 21, 29), (39, 80, 89), (7, 24, 25) </math>

<math> (8, 15, 17), (28, 45, 53), (48, 55, 73) </math>

<math> (9, 40, 41), (12, 35, 37), (36, 77, 85), (65, 72, 97) </math>

이외에도 <math> (6, 8, 10), (9, 12, 15) </math>와 같이 피타고라스 수에 자연수를 곱해도 피타고라스 수이고, 원래 삼각형과 닮음이다.

== 여담 ==
피타고라스 학파는 [[유리수]]만이 수의 전부라고 믿었다. 그런데, 피타고리스 학파의 한 학자인 히파수스가 짧은 두 변이 1이면 빗변의 길이가 <math>\sqrt{2}</math>인데, 이 수는 유리수가 아니다는 사실을 알아챘고, 피타고라스 학파는 혼란에 빠졋다. 이후 이 말을 들은 피타고라스는 자신이 믿고 있는 이치에 맞지 않다고 여겨 히파수스를 죽였다느니, 히파수스가 세상에 [[무리수]]의 존재를 알리려다가 암살당했다느니 하는 이야기가 있는 반면, 히파수스가 피타고라스 학파의 신념을 지키기 위해 자살했다는 얘기도 있다. {{ㅊ|에라 모르겠다! 유리수 빼곤 다 수가 아니야!}} 하지만 어느쪽이든 진실은 불명이며, 심지어는 히파수스가 무리수를 발견했다는 사실이 맞는지도 의문에 싸여있다.

중학교 수학에서는 그 중요성으로 인해 아예 단원 하나를 차지하고 있다.

[[분류:수학 정리]] [[분류:기하학]]