평균 부등식 편집하기



== 개요 ==
중학교때 배운 [[산술-기하 평균 부등식]]을 좀 더 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전. [[수학]]을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 [[부등식]]에 들어가기 전에 먼저 몇 가지 정의를 설명한다.

<math>n</math>개의 양의 실수 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>에 대하여,
* 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=<math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>)
* 제곱근 멱평균 (RMS: Root-Mean Square)<ref>책에 따라서는 SQM (Square-root Quadratic Mean)이라 부르기도 한다.</ref>: <math>\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}</math>
* 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): <math>\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>
* 기하평균 (GM: Geometric Mean): <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math>
* 조화평균 (HM: Harmonic Mean): <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math> ([[역수]]들의 산술평균의 역수)
* 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=<math>\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>)
산술, 기하, 조화평균에 대한 자세한 내용은 [[평균]] 항목을 참조하자.

== 평균부등식 ==
{{인용문|양의 실수 <math>a,b</math>에 대하여, <math>\max\left(a,b\right)\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}\geq\min\left(a,b\right)</math>이 성립한다. 즉, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 <math>a=b</math>일 때 성립한다.}}

=== 증명 ===
1. WLOG <math>a\geq b</math>라 가정한다. 그러면 <math>\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}</math>. 즉, MAX ≥ RMS.

2. <math>\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0</math>. 즉, RMS ≥ AM.

3. <math>\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0</math>. 즉, AM ≥ GM.

4. <math>\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0</math>. 즉, GM ≥ HM.

5. WLOG <math>a\geq b</math>라 가정한다. 그러면 <math>\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}</math>. 즉, HM ≥ MIN.

== 평균부등식의 확장 ==
윗 문단에선 문자가 2개일 경우만 설명했지만, 사실은 임의의 <math>n</math>개의 양의 실수에 대해서도 같은 [[부등식]]이 성립한다.
{{인용문|<math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\geq\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>. <br /> 곧, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 <math>x_1=x_2=\cdots=x_n</math>일 때 성립한다.}}

=== 증명 ===
1. WLOG<ref>WLOG는 Without Loss Of Generality의 약자이다.</ref> <math>x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n</math>이라 가정한다. 그러면 <math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}</math>. 곧, MAX ≥ RMS.

2. [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해, <math>\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2</math>이다. 양변을 <math>n^2</math>으로 나눠주고 정리하면, <math>\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2</math>. 양변에 [[제곱근]]을 씌워주면, <math>\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다.

3. [[산술-기하 평균 부등식]] 참조.<ref>[[수학적 귀납법]]을 사용해 증명한다.</ref>

4. [[산술·기하 평균 부등식]]을 활용한다. <math>\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}}}{n}\geq1</math>이므로, 이를 잘 정리해주면, <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n}\geq1</math>이고, 곧, <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math>. 즉, GM ≥ HM이 성립한다.

5. WLOG <math>x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n</math>이라 가정한다. 그러면 <math>\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math>. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다.

== 예제 ==
양의 실수 <math>a,b,c</math>에 대하여, <math>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9</math>가 성립한다. AM-HM에 의해, <math>\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}</math>이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 [[부등식]]이 증명된다. 등호는 <math>a=b=c</math>일 때 성립한다.

== 관련 항목 ==
* [[절대부등식]]
* [[코시-슈바르츠 부등식]]
* [[산술-기하평균 부등식]]
* [[재배열 부등식]]

[[분류:부등식]]
{{각주}}