로그인하고 있지 않습니다. 편집하면 당신의 IP 주소가 공개적으로 기록됩니다. 계정을 만들고 로그인하면 편집 시 사용자 이름만 보이며, 위키 이용에 여러 가지 편의가 주어집니다.스팸 방지 검사입니다. 이것을 입력하지 마세요! == 개요 == 중학교때 배운 [[산술-기하평균 부등식]]을 좀 더 확장시켜 온갖 평균을 다 집어넣은 버전. [[수학]]을 좀 하는 아이들은 AM-GM에 더해 조화평균까지 알고 있는 경우가 많지만 그 뒤의 확장은 모르는 경우가 많다. 자세한 [[부등식]]에 들어가기 전에 먼저 몇 가지 정의를 설명한다. <math>n</math>개의 양의 실수 <math>x_1,x_2,\cdots,x_n</math>에 대하여, * 최댓값 (Max): 말 그대로 최댓값 (=<math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>) * 제곱근 멱평균 (RMS: Root-Mean Square)<ref>책에 따라서는 SQM (Square-root Quadratic Mean)이라 부르기도 한다.</ref>: <math>\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}</math> * 산술평균 (AM: Arithmetic Mean): <math>\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math> * 기하평균 (GM: Geometric Mean): <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}</math> * 조화평균 (HM: Harmonic Mean): <math>\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math> ([[역수]]들의 산술평균의 역수) * 최솟값 (Min): 말 그대로 최솟값 (=<math>\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>) 산술, 기하, 조화평균에 대한 자세한 내용은 [[평균]] 항목을 참조하자. == 평균부등식 == {{인용문|양의 실수 <math>a,b</math>에 대하여, <math>\max\left(a,b\right)\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\geq\frac{a+b}{2}\geq\sqrt{ab}\geq\frac{2ab}{a+b}\geq\min\left(a,b\right)</math>이 성립한다. 즉, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 <math>a=b</math>일 때 성립한다.}} === 증명 === 1. WLOG <math>a\geq b</math>라 가정한다. 그러면 <math>\max\left(a,b\right)=a=\sqrt{\frac{2a^2}{2}}\geq\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}</math>. 즉, MAX ≥ RMS. 2. <math>\frac{a^2+b^2}{2}-\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=\left(\frac{a-b}{2}\right)^2\geq0</math>. 즉, RMS ≥ AM. 3. <math>\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}=\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\geq0</math>. 즉, AM ≥ GM. 4. <math>\sqrt{ab}-\frac{2ab}{a+b}=\frac{\sqrt{ab}}{a+b}\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2\geq0</math>. 즉, GM ≥ HM. 5. WLOG <math>a\geq b</math>라 가정한다. 그러면 <math>\min\left(a,b\right)=b=\frac{2}{\frac{1}{b}+\frac{1}{b}}\leq\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}=\frac{2ab}{a+b}</math>. 즉, HM ≥ MIN. == 평균부등식의 확장 == 윗 문단에선 문자가 2개일 경우만 설명했지만, 사실은 임의의 <math>n</math>개의 양의 실수에 대해서도 같은 [[부등식]]이 성립한다. {{인용문|<math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\geq\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\geq\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)</math>. <br /> 곧, MAX ≥ RMS ≥ AM ≥ GM ≥ HM ≥ MIN이 성립한다. 등호는 <math>x_1=x_2=\cdots=x_n</math>일 때 성립한다.}} === 증명 === 1. WLOG<ref>WLOG는 Without Loss Of Generality의 약자이다.</ref> <math>x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n</math>이라 가정한다. 그러면 <math>\max\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_1=\sqrt{\frac{n{x_1}^2}{n}}\geq\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}</math>. 곧, MAX ≥ RMS. 2. [[코시-슈바르츠 부등식]]에 의해, <math>\left({x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2\right)\left(1+1+\cdots+1\right)\geq\left(x_1+x_2+\cdots+x_n\right)^2</math>이다. 양변을 <math>n^2</math>으로 나눠주고 정리하면, <math>\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}\geq\left(\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}\right)^2</math>. 양변에 [[제곱근]]을 씌워주면, <math>\sqrt{\frac{{x_1}^2+{x_2}^2+\cdots+{x_n}^2}{n}}\geq\frac{x_1+x_2+\cdots+x_n}{n}</math>. 즉, RMS ≥ AM이 성립한다. 3. [[산술-기하평균 부등식]] 참조.<ref>[[수학적 귀납법]], 혹은 [[젠센 부등식]]을 사용해 증명한다.</ref> 4. [[산술-기하평균 부등식]]을 활용한다. <math>\frac{\sum_{k=1}^n\sqrt[n]{\frac{x_1x_2\cdots x_n}{{x_k}^n}}}{n}\geq1</math>이므로, 이를 잘 정리해주면, <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\frac{\sum_{k=1}^n\frac{1}{x_k}}{n}\geq1</math>이고, 곧, <math>\sqrt[n]{x_1x_2\cdots x_n}\geq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math>. 즉, GM ≥ HM이 성립한다. 5. WLOG <math>x_1\geq x_2\geq\cdots\geq x_n</math>이라 가정한다. 그러면 <math>\min\left(x_1,x_2,\cdots,x_n\right)=x_n=\frac{n}{\frac{1}{x_n}+\frac{1}{x_n}+\cdots+\frac{1}{x_n}}\leq\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}}</math>. 즉, HM ≥ MIN이 성립한다. == 예제 == 양의 실수 <math>a,b,c</math>에 대하여, <math>\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\geq9</math>가 성립한다. AM-HM에 의해, <math>\frac{a+b+c}{3}\geq\frac{3}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}</math>이 성립하고, 이를 정리해주면 구하고자 하는 [[부등식]]이 증명된다. 등호는 <math>a=b=c</math>일 때 성립한다. == 관련 항목 == * [[절대부등식]] * [[코시-슈바르츠 부등식]] * [[산술-기하평균 부등식]] * [[재배열 부등식]] [[분류:부등식]] {{각주}} 요약: 리브레 위키에서의 모든 기여는 크리에이티브 커먼즈 저작자표시-동일조건변경허락 3.0 라이선스로 배포됩니다(자세한 내용에 대해서는 리브레 위키:저작권 문서를 읽어주세요). 만약 여기에 동의하지 않는다면 문서를 저장하지 말아 주세요. 글이 직접 작성되었거나 호환되는 라이선스인지 확인해주세요. 리그베다 위키, 나무위키, 오리위키, 구스위키, 디시위키 및 CCL 미적용 사이트 등에서 글을 가져오실 때는 본인이 문서의 유일한 기여자여야 하고, 만약 본인이 문서의 유일한 기여자라는 증거가 없다면 그 문서는 불시에 삭제될 수 있습니다. 취소 편집 도움말 (새 창에서 열림) | () [] [[]] {{}} {{{}}} · <!-- --> · [[분류:]] · [[파일:]] · [[미디어:]] · #넘겨주기 [[]] · {{ㅊ|}} · <onlyinclude></onlyinclude> · <includeonly></includeonly> · <noinclude></noinclude> · <br /> · <ref></ref> · {{각주}} · {|class="wikitable" · |- · rowspan=""| · colspan=""| · |} {{lang|}} · {{llang||}} · {{인용문|}} · {{인용문2|}} · {{유튜브|}} · {{다음팟|}} · {{니코|}} · {{토막글}} {{삭제|}} · {{특정판삭제|}}(이유를 적지 않을 경우 기각될 가능성이 높습니다. 반드시 이유를 적어주세요.) {{#expr:}} · {{#if:}} · {{#ifeq:}} · {{#iferror:}} · {{#ifexist:}} · {{#switch:}} · {{#time:}} · {{#timel:}} · {{#titleparts:}} __NOTOC__ · __FORCETOC__ · __TOC__ · {{PAGENAME}} · {{SITENAME}} · {{localurl:}} · {{fullurl:}} · {{ns:}} –(대시) ‘’(작은따옴표) “”(큰따옴표) ·(가운뎃점) …(말줄임표) ‽(물음느낌표) 〈〉(홑화살괄호) 《》(겹화살괄호) ± − × ÷ ≈ ≠ ∓ ≤ ≥ ∞ ¬ ¹ ² ³ ⁿ ¼ ½ ¾ § € £ ₩ ¥ ¢ † ‡ • ← → ↔ ‰ °C µ(마이크로) Å °(도) ′(분) ″(초) Α α Β β Γ γ Δ δ Ε ε Ζ ζ Η η Θ θ Ι ι Κ κ Λ λ Μ μ(뮤) Ν ν Ξ ξ Ο ο Π π Ρ ρ Σ σ ς Τ τ Υ υ Φ φ Χ χ Ψ ψ Ω ω · Ά ά Έ έ Ή ή Ί ί Ό ό Ύ ύ Ώ ώ · Ϊ ϊ Ϋ ϋ · ΐ ΰ Æ æ Đ(D with stroke) đ Ð(eth) ð ı Ł ł Ø ø Œ œ ß Þ þ · Á á Ć ć É é Í í Ĺ ĺ Ḿ ḿ Ń ń Ó ó Ŕ ŕ Ś ś Ú ú Ý ý Ź ź · À à È è Ì ì Ǹ ǹ Ò ò Ù ù · İ Ż ż ·  â Ĉ ĉ Ê ê Ĝ ĝ Ĥ ĥ Î î Ĵ ĵ Ô ô Ŝ ŝ Û û · Ä ä Ë ë Ï ï Ö ö Ü ü Ÿ ÿ · ǘ ǜ ǚ ǖ · caron/háček: Ǎ ǎ Č č Ď ď Ě ě Ǐ ǐ Ľ ľ Ň ň Ǒ ǒ Ř ř Š š Ť ť Ǔ ǔ Ž ž · breve: Ă ă Ğ ğ Ŏ ŏ Ŭ ŭ · Ā ā Ē ē Ī ī Ō ō Ū ū · à ã Ñ ñ Õ õ · Å å Ů ů · Ą ą Ę ę · Ç ç Ş ş Ţ ţ · Ő ő Ű ű · Ș ș Ț ț 이 문서에서 사용한 틀: 틀:각주 (원본 보기) (준보호됨)틀:인용문 (원본 보기) (준보호됨)