파스칼의 정리 편집하기

[[파일:파스칼의 정리.png|thumb|300px|원에 접하는 (오목) 육각형 ABCDEF에 대해서 파스칼 직선 ''PQR''을 정의할 수 있다.]]
[[사영기하학]]에서 '''파스칼의 정리'''(다른 말로는 '''신비한 육각형의 정리''')는 [[원뿔곡선]] 위에 여섯 개의 점을 잡았을 때 이 여섯 점으로 만든 육각형을 작도했을 때 맞은 편 변에 있는 세 쌍의 변이 각각 만나서 생기는 세 점이 일직선상에 있다는 것을 의미한다. [[유클리드 공간]]에서도 이 정리는 유용하지만 [[평행선]]에 대해서도 설명하기 위해서는 [[사영기하학]]의 전제가 필요하다.

== 유클리드 공간에서 ==
이 정리 자체는 [[사영기하학]]에서 정의하는 것이 바람직하다. 왜냐하면 사영평면(Projective Plane)상에서는 모든 직선은 만나고, 평행선이 존재하지 않기 때문이다. 하지만 '''유클리드 공간'''에서 평행선이 없다는 제한조건을 덧붙이면 유클리드 공간에서도 해당 정리가 유효하다는 것을 알 수 있다.

만일 맞은 변 중에서 단 한 쌍이 평행하고, 나머지 두 쌍은 서로 만난다면, 만나는 두 쌍의 변이 만들어내는 두 교점과 평행한 한 쌍의 변은 서로 평행하게 된다. 만일 맞은 변 중에서 두 쌍이 평행하면 나머지 한 쌍의 변도 무조건 평행하게 된다.

== 관련된 결론 ==
이 정리는 [[파푸스의 육각형 정리]]의 일반화라고 생각할 수도 있다. 파푸스의 정리는 파스칼의 정리에서 이 이차곡선이 서로 만나는 두 직선으로 축퇴된(degenerated) 형태라고 설명할 수 있기 때문이다. 또한 파스칼의 정리는 사영기하학적으로는 [[브리안숑의 정리]]<ref>이것은 원이나 타원처럼 닫힌 이차곡선에 외접하는 육각형에 대해 맞은편 꼭짓점을 연결한 세 대각선이 한 점에 만난다는 것을 보이는 정리이다. </ref>와 쌍대 관계를 이룬다. 이 정리 자체는 [[블레즈 파스칼]](Blaise Pascal)이 16세 때에 "''Essay povr les coniqves. Par B. P.''"라는 제목으로 출간한 노트에서 유래한 정리이다.

반대로 파스칼의 정리는 케일리-바하라흐 정리(Cayley-Bacharach Theorem)의 특수한 경우이기도 하다.

이 파스칼의 정리는 육각형의 한 변이 한 점으로 모여들어갈 때에는 변의 연장선 대신에 접선 형태로 축퇴(degenerated)된 형태로 치환해서도 성립하는 것을 확인할 수 있다.

이 정리의 역은 [[브랑켄리지-맥클러린]](Braikenridge–Maclaurin theorem) 정리이다. 이것은 육각형에서 맞은 세 변의 교점이 한 점 위에 있을 때 이 육각형의 여섯 꼭짓점은 하나의 이차곡선 위에 있다는 것을 증명하는 것이다. 이 이차곡선은 파푸스의 육각형 정리처럼 축퇴된 형태일 수도 있다.

오거스트 페르디난드 뫼비우스(August Ferdinand Möbius)는 1847년 이 정리를 일반화하면서 4n+2각형에 대해 2n쌍의 반대편 변에 의해 생기는 교점이 일직선을 이루면 나머지 한 쌍의 맞은 편의 변에 대해서도 이 두 변의 교점이 그 2n쌍의 변에 의해 생기는 교점을 모두 포함하는 일직선 위에 있다는 것을 보였다.

== Hexagrammum Mysticum ==
여섯 점이 한 개의 이차곡선 위에 있을 경우 60개의 서로 다른 방법의 육각형의 연결방법이 존재한다. 결과적으로 파스칼의 직선도 60개가 형성이 된다. 이 60개의 직선을 Hexagrammum Mysticum이라고 부른다.

토마스 커크만(Thomas Kirkman)은 1849년 이 60개의 직선이 60개의 점과 관련이 있다는 것을 보였다. 특히 각 직선은 이 관련 있는 점 세 개를 지나는 것도 보였다. 이 60개의 점을 커크만 점(Kirkman Points)라고 부른다.

==증명==
파스칼은 자신의 노트에서 증명방법을 적지 않았다. 하지만 다양한 증명방법이 있다.

=== 부연설명 ===
우선 증명방법에서 이차곡선이 원일 때만 보여도 충분하게 된다. 왜냐하면 모든 축퇴되지 않은(non-degenerate, 타원, 포물선, 쌍곡선을 포함한다) 이차곡선은 선형적 사영변환(projective transformation)에 의해 원으로 변환이 가능하기 때문이다.

우선 사영평면(Projective Plane) <math>\mathbb{P}^2 (k)</math>에 대해 체 ''k''가 대수적으로 닫혀있다고 가정해도 된다. (algebraically closed) 왜냐하면 임의의 체는 대수적으로 닫힌 체 안에 들어가며, 교점의 개수가 최대일 때는 대수적으로 닫힌 체에서도 교점이 보존되기 때문이다.

<math> \mathbb{P}^2 (k) = \frac{k^3-(0,0,0)}{ \sim} </math>상에서 이차곡선(Conic section)의 공식은 <math> a x^2 + b y^2 + c z^2 + dxy + exz + fyz =0 </math>가 된다. 이것은 3×3 행렬을 이용해서 <math> \begin{bmatrix} x& y& z \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math>형태로 작성이 가능하다.

이 3X3 행렬은 대칭행렬이므로 직교행렬 P를 이용하면 <math>P \cdot \begin{bmatrix} a & d/2 & e/2 \\ d/2 & b & f/2 \\ e/2 & f/2 & c \end{bmatrix} \ P^t = \begin{bmatrix} A'& 0 & 0 \\ 0& B'& 0 \\ 0 & 0 & C'\end{bmatrix} </math>형태로 변환이 가능하다. 여기서 이차곡선은 '''축퇴'''(degenerated)되지 않으므로 A', B', C'의 값은 0이 되지 않는다. 한편 체 ''k''는 대수적으로 닫힌 체(algebraically closed)이므로 <math> x^2-A'/B' =0, x^2 + A'/C' =0 </math>의 해는 항상 존재하며, 그 중에 한 해를 각각 <math> b', c'</math>라고 놓는다. (x,y,z)를 <math> \begin{bmatrix} x'\\ y'\\ z'\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & b' & 0 \\ 0& 0& c'\end{bmatrix} \cdot P^t \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}</math>로 변환시키면 <math> a x^2 + b y^2 + c z^2 + dxy + exz + fyz =0 </math> 식은 <math> {x'}^2 + {y'}^2 -{z'}^2 =0 </math>형태로 유도된다.

한편 선형변환 X는 일차식 <math>ax + by +cz=0 </math>을 다른 일차식 <math> a 'x + b'y + c'z =0</math>, <math> \begin{bmatrix} a'& b'& c'\end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} a& b& c\end{bmatrix} X </math>으로 변환시키기 때문에 한 직선은 선형변환에 의해서 다른 직선으로 변화하며, 따라서 공선점은 선형변환에 의해서 공선점으로 변한다. 임의의 축퇴되지 않는(Non-degenerated) 이차곡선은 대수적으로 닫힌 체의 선형변환에 의해서 원으로 변환이 가능한 것을 알 수 있다. 따라서 우리는 파스칼의 정리가 원에 대해서만 성립하는 것을 보여도 임의의 이차곡선에 대해 성립한다는 것을 보일 수 있다.

다만 파스칼의 정리는 일반적인 표현으로는 [[파푸스의 육각형 정리]]의 일반화된 정리이기는 하지만 이 방법을 사용할 수 있는 경우는 축퇴되지 않은(non-degenerated) 경우에 한정되므로 파푸스의 육각형 정리를 따름정리(Corollary)로 얻을 수 없다.

=== [[메넬라우스의 정리]]를 반복하는 방법 ===
{|
|-
|[[파일:파스칼의 정리 증명.png|thumb|left]]
|[[파일:파스칼의 정리 증명2.png|thumb|right]]
|}
우선 위의 그림에서 AB와 DE의 교점 P, BC와 EF의 교점 Q, CD와 FA의 교점 R을 놓자. AB와 CD의 교점을 G, CD와 EF의 교점을 H, EF와 AB의 교점을 I라고 놓자. 그러면 삼각형 △GHI에 대해서 B, C, Q가 일직선상에 있으므로 메넬라우스의 정리를 적용하면 <math> \frac{IQ}{HQ} \frac{HC}{GC} \frac{GB}{IB} =1 </math>. (1)

마찬가지로 D, E, P가 일직선상에 있으므로 삼각형 △GHI에 대해 메넬라우스의 정리를 적용하면 <math> \frac{IE}{HE} \frac{HD}{GD} \frac{GP}{IP} =1 </math>. (2)

마찬가지로 A, F, R도 일직선상에 있으므로 삼각형 △GHI에 대해 메넬라우스의 정리를 적용하면 <math>\frac{GA}{IA} \frac{HR}{GR} \frac{IF}{HF} =1 </math>. (3)

한편 점 G, H, I와 원 위의 점 A, B, C, D, E, F에 의해 원주의 비례공식을 적용하면 <math> \frac{GA \cdot GB}{GC \cdot GD}=1 </math>, <math> \frac{HC \cdot HD}{HE \cdot HF} =1 </math> , <math> \frac{IE \cdot IF}{IA \cdot IB} =1 </math>. (4)

(1)×(2)×(3)을 곱한 식은 <math> \frac{IQ}{HQ} \frac{HC}{GC} \frac{GB}{IB}  \cdot \frac{IE}{HE} \frac{HD}{GD} \frac{GP}{IP}  \cdot \frac{GA}{IA} \frac{HR}{GR} \frac{IF}{HF} </math>
<math> = \frac{IQ}{HQ} \frac{GP}{IP}\frac{HR}{GR} \cdot \frac{GA \cdot GB}{GC \cdot GD} \cdot \frac{HC \cdot HD}{HE \cdot HF} \cdot \frac{IE \cdot IF}{IA \cdot IB} </math>

(4)를 이용하면 <math> = \frac{IQ}{HQ} \frac{GP}{IP}\frac{HR}{GR} =1 </math>. 메넬라우스의 정리를 이용하면 P, Q, R은 일직선상에 있다.

=== 3차곡선을 이용한 증명방법 ===
파스칼의 정리는 [[케일리-바하라흐 정리]](Cayley-Bacharach Theorem)를 이용하면 엄청나게 간단하게 증명할 수 있다.<ref>이 정리 자체에 대한 증명은 [https://www.msri.org/~de/papers/pdfs/1996-001.pdf 이곳을 참조]</ref> 케일리-바카라치 정리는 대수적으로 닫힌 체 ''k''와 사영공간 <math>\mathbb{P}^2 (k)</math>에 대해서 사영평면 안에서 8개의 임의의 점을 지나는 모든 3차곡선 <math> f(x,y)=0 </math>에 대해서 이 모든 곡선이 지나는 아홉 번째 점이 존재한다는 정리이다. 파스칼의 정리는 세 직선 AB, CD, EF를 0으로 보내는 삼차식 ''f<sub>1</sub>''과 BC, DE, FA를 0으로 보내는 삼차식 ''f<sub>2</sub>''가 주어지면, ''f<sub>1</sub>''=0과 ''f<sub>2</sub>''의 교점은 자연스럽게 A, B, C, D, E, F, P, Q, R이 된다. 케일리-바하라흐 정리를 이용하면 A, B, C, D, E, F, P, Q를 지나는 삼차곡선은 나머지 점 R을 반드시 지나게 된다. 특히 점 A, B, C, D, E, F가 이차곡선 위에 있으면 이 여덟 점을 지나는 삼차곡선은 P, Q를 지나는 일직선을 커버하게 된다. 따라서 R이 직선 PQ위에 존재하게 되고 증명이 완료되었다. 이 경우는 파푸스의 육각형 정리도 자연스럽게 증명된다.

참고로 케일리-바하라흐 정리는 3차 [[타원곡선]] 상에서의 연산자의 결합법칙을 증명하는 데에도 유용하다. 예를 들면 3차 타원곡선은 첫 번째 3개묶음의 직선 ''X<sub>1</sub>'', ''X<sub>2</sub>'', ''X<sub>3</sub>''와 ''Y<sub>1</sub>'', ''Y<sub>2</sub>'', ''Y<sub>3</sub>''에 대해서 <math>X_i \cap Y_j , i=1,2,3, j=1,2,3 </math>의 점 중 여덟 개를 지나는 삼차곡선이 반드시 나머지 한 점도 지나게 된다는 것을 보인다. 타원곡선에서 군(group)의 정의는 일직선 상에 있는 세 점의 곱은 항등원이 되게 정의하는데, 이 점을 이용하면 아래 그림처럼 결합법칙을 증명할 수 있게 된다.
[[파일:EllipticGroup.gif|섬네일|300px]]

=== 베조의 정리(Bézout's theorem)를 이용하는 방법 ===
우선 베조의 정리가 무엇인지 간단하게 살펴보자.
{{숨기기|베조의 정리(Bézout's theorem)
|복소수 상의 k차원 사영공간 <math>\mathbb{P}^k ( \mathbb{C})</math>에 대해서 m<sub>1</sub>차식 <math>f_1 (x_1 , \cdot\cdot\cdot, x_k)=0</math>, m<sub>2</sub>차식 <math>f_2(x_1 , \cdot\cdot\cdot, x_k)=0</math>, ... m<sub>r</sub>차식 <math>f_r (x_1 , \cdot\cdot\cdot, x_k) =0 </math>에 대해서 r≤k라고 가정하면 <math> \bigcap_{i\neq t}\left\{f_i=0\right\}\cap\left\{f_t=0\right\}</math>이 원래의 두 다원체의 차원(dimension)보다 떨어진다는 가정 하에서 교집합  <math>\bigcap_{i=1}^{r}\left\{f_i(x_1 , \cdots x_k)=0\right\} </math>은 최대한 <math> \prod_{i=1}^{r} m_i </math>차수로 구성된 k-r차원 대수적 사영다영체(projective variety)가 된다는 정리이다. 특히 k{{=}}r{{=}}2일때만 생각한다면 f의 차수를 m, g의 차수를 n으로 간주하면 연립방정식 <math> \begin{cases} f(x,y)=0 \\ g(x,y)=0 \end{cases} </math>에 대해서 k중근은 k개로 근으로 간주할 때 두 다항식의 영점이 다양체 하나를 통채로 공유하지 않는다면. 연립방정식을 만족하는 교점의 개수가 복소수 사영평면 안에서 정확히 mn개가 존재함을 의미한다.
}}

삼차식 ''f''가 직선 AB, CD, EF 위에서 함수값이 0이 되고, 삼차식 ''g''가 직선 BC, DE, FA에서의 함수값이 0이 된다고 가정하자. 그렇다면 두 식의 영점의 교점인 A, B, C, D, E, F, P, Q, R을 얻을 수 있다. 일단 삼차식 ''h''=''f''+&lambda;''g''로 놓으면 ''h''=0도 ''f''와 ''g''의 교점 9개를 반드시 지나가게 된다. A, B, C, D, E, F를 지나는 이차곡선 위의 점 하나를 X로 잡고, 삼차식 ''h''가 A, B, C, D, E, F, X를 지난다고 가정하하면 이차곡선 위에서 0이 되는 이차식 ''j''에 대해서 ''h''와 ''j''의 교점은 7개가 된다. 베조의 정리에 의해서 h=0인 다양체(variety)가 j=0인 다양체를 포함하지 않는다면 {h=0}인 집합과 {j=0}인 집합은 기껏해야 3X2=6개의 점에서만 만나게 된다. 따라서 모순이 생기지 않기 위해서는 {h=0}이 반드시 {j=0}을 포함해야 한다는 것을 의미한다. 분명히 h는 이차곡선 바깥의 점 P, Q, R을 지나게 되므로 일차식 ''k''가 있어서 {''k''=0}이 P, Q, R을 포함한다는 것을 의미한다. 따라서 ''h''=0은 ''jk''=0을 만족하고, 세 점 P, Q, R은 하나의 일차식의 영점이 되므로 일직선(파스칼 직선)상에 놓이게 되는 것을 알 수 있다.

== 파스칼의 육각형의 성질 ==
위의 그림을 이용했을 때 우리는 아래와 같은 식이 성립합을 확인할 수 있다. <ref>{{웹 인용|url=http://www.cut-the-knot.org/Generalization/OverlookedPascal.shtml|제목=A Property of Pascal's Hexagon Pascal May Have Overlooked|날짜= 2014-02-03}}</ref>
:<math>\frac{\overline{PB}}{\overline{PA}} \times \frac{\overline{RA}}{\overline{RF}} \times \frac{\overline{QF}}{\overline{QE}} \times\frac{\overline{PE}}{\overline{PD}} \times \frac{\overline{RD}}{\overline{RC}} \times \frac{\overline{QC}}{\overline{QB}}=1.</math>

바깥의 이차곡선이 원일 때에는 원주의 성질을 이용하면 쉽게 유도가 가능하지만 원이 아닐 경우에는 직접 보이기에는 굉장히 까다롭다. 자세한 내용은 해당 웹사이트를 참조하자.

== 파스칼의 육각형의 축퇴형(degeneration) ==
파스칼의 육각형은 한 변이 한 점으로 축퇴(degenerating)됨에 따라서 육각형 대신 오각형, 사각형, 삼각형과 원의 접선에 대한 정리로 표현할 수 있다. [https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/Pascal-3456.png 이미지]

== 관련 문서 ==
* [[데자르그의 정리]]
* [[브리앙숑의 정리]]

== 출처 ==
* Biggs, N. L. (1981), "T. P. Kirkman, mathematician", The Bulletin of the London Mathematical Society 13 (2): 97–120, doi:10.1112/blms/13.2.97, MR 608093
Coxeter, H. S. M.; Greitzer, S. L. (1967), Geometry Revisited, Washington, DC: Mathematical Association of America, p. 76
* Guggenheimer, Heinrich W. (1967), Plane geometry and its groups, San Francisco, Calif.: Holden–Day Inc., MR 0213943
* Mills, Stella (March 1984), "Note on the Braikenridge–Maclaurin Theorem", Notes and Records of the Royal Society of London (The Royal Society) 38 (2): 235–240, doi:10.1098/rsnr.1984.0014, JSTOR 531819
* Modenov, P.S.; Parkhomenko, A.S. (2001), "P/p071780", in Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
* Pascal, Blaise (1640). "Essay pour les coniques" (facsimile). Niedersächsiche Landesbibliothek, Gottfried Wilhelm Leibniz Bibliothek. Retrieved 21 June 2013.
* Smith, David Eugene (1959), A Source Book in Mathematics, New York: Dover, ISBN 0-486-64690-4
Stefanovic, Nedeljko (2010), A very simple proof of Pascal's hexagon theorem and some applications (PDF), Indian Academy of Sciences
Wells, David (1991), The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, London: Penguin Books, ISBN 0-14-011813-6
* Young, John Wesley (1930), Projective Geometry, The Carus Mathematical Monographs, Number Four, The Mathematical Association of America
* van Yzeren, Jan (1993), "A simple proof of Pascal's hexagon theorem", The American Mathematical Monthly (Mathematical Association of America) 100 (10): 930–931, doi:10.2307/2324214, ISSN 0002-9890, JSTOR 2324214, MR 1252929

== 외부 링크 ==
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/Pascal.shtml Interactive demo of Pascal's theorem (Java required)] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PascalLines.shtml 60 Pascal Lines (Java required)] at [[cut-the-knot]]
* [http://www.math.uregina.ca/~fisher/Norma/paper.html The Complete Pascal Figure Graphically Presented] by J. Chris Fisher and Norma Fuller (University of Regina)
* [http://www.mathematik.tu-darmstadt.de/~ehartmann/circlegeom.pdf ''Planar Circle Geometries, an Introduction to Moebius-, Laguerre- and Minkowski Planes''] (PDF; 891&nbsp;kB), Uni Darmstadt, S. 29-35.
{{각주}}

{{번역된 문서|en|Pascal's Theorem|709338064|일부}}

[[분류:유클리드 기하학]]